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MensagemEnviado: 21 mar 2018, 22:04 
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Alguém de bom coração me explica como faço isso por favor?

Considere f(x) = 2x³ - 2x² + 2x + 4. Assim sendo, fatorize f(x) em produto de fatores irredutíveis em Z3[x].

Obrigado!


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MensagemEnviado: 22 mar 2018, 21:17 
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Será isto que quer???

\(f(x) = 2x^3 - 2x^2 + 2x + 4\\
\\
f(x) = 2(x^3 - x^2 + x + 2)\\
\\
f(x) = 2(x^2(x-1) + (x - 1) + 3 )\\
\\
f(x) = 2((x-1)(x^2+1) + 3 )\\\)

_________________
João Pimentel Ferreira
 
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MensagemEnviado: 23 mar 2018, 21:53 
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João, fiquei na dúvida com o Z3[x] que aparece. Para mim ele modificaria a resolução do exercício.


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MensagemEnviado: 06 jul 2018, 08:02 
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MensagemEnviado: 10 jul 2018, 13:49 
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Penso que o pretendido é fatorizar o polinómio \(2x^3 - 2x^2 + 2x + 4\) em \(\mathbb{Z}_3\[x\]\) que é o anel dos polinómios sobre o corpo dos inteiros módulo três: \(\mathbb{Z}_3 = \{\overline{0},\overline{1},\overline{2}\}\) (ver aqui)*. Neste caso, como \(4 \equiv - 2 \mbox{ mod}3\), temos que \(\overline{2}x^3 - \overline{2}x^2 + \overline{2}x + \overline{4} = \overline{2}x^3 - \overline{2}x^2 + \overline{2}x - \overline{2} =\overline{2}(x-\overline{1})(x^2+\overline{1})\) em \(\mathbb{Z}_3\[x\]\) e não é difícil ver que os fatores são irredutíveis em \(\mathbb{Z}_3\[x\]\): \(x-\overline{1} = x+\overline{2}\) é irredutível por ser linear (grau mínimo) e \(x^2+\overline{1}\) é irredutível pois não se anula seja qual for o elemento \(x\in \mathbb{Z}_3 = \{\overline{0},\overline{1},\overline{2}\}\).

* Não creio que se esteja a referir aos inteiros 3-ádicos que também se escrevem \(\mathbb{Z}_3\).


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