Penso que o pretendido é fatorizar o polinómio \(2x^3 - 2x^2 + 2x + 4\) em \(\mathbb{Z}_3\[x\]\) que é o anel dos polinómios sobre o corpo dos inteiros módulo três: \(\mathbb{Z}_3 = \{\overline{0},\overline{1},\overline{2}\}\) (ver
aqui)*. Neste caso, como \(4 \equiv - 2 \mbox{ mod}3\), temos que \(\overline{2}x^3 - \overline{2}x^2 + \overline{2}x + \overline{4} = \overline{2}x^3 - \overline{2}x^2 + \overline{2}x - \overline{2} =\overline{2}(x-\overline{1})(x^2+\overline{1})\) em \(\mathbb{Z}_3\[x\]\) e não é difícil ver que os fatores são irredutíveis em \(\mathbb{Z}_3\[x\]\): \(x-\overline{1} = x+\overline{2}\) é irredutível por ser linear (grau mínimo) e \(x^2+\overline{1}\) é irredutível pois não se anula seja qual for o elemento \(x\in \mathbb{Z}_3 = \{\overline{0},\overline{1},\overline{2}\}\).
* Não creio que se esteja a referir aos
inteiros 3-ádicos que também se escrevem \(\mathbb{Z}_3\).