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| Álgebra - Fatorize f(x) em produto de Fatores Irredutíveis https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=13&t=13696 |
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| Autor: | Estudioso [ 21 mar 2018, 22:04 ] |
| Título da Pergunta: | Álgebra - Fatorize f(x) em produto de Fatores Irredutíveis |
Alguém de bom coração me explica como faço isso por favor? Considere f(x) = 2x³ - 2x² + 2x + 4. Assim sendo, fatorize f(x) em produto de fatores irredutíveis em Z3[x]. Obrigado! |
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| Autor: | João P. Ferreira [ 22 mar 2018, 21:17 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Álgebra - Fatorize f(x) em produto de Fatores Irredutíveis |
Será isto que quer??? \(f(x) = 2x^3 - 2x^2 + 2x + 4\\ \\ f(x) = 2(x^3 - x^2 + x + 2)\\ \\ f(x) = 2(x^2(x-1) + (x - 1) + 3 )\\ \\ f(x) = 2((x-1)(x^2+1) + 3 )\\\) |
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| Autor: | Estudioso [ 23 mar 2018, 21:53 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Álgebra - Fatorize f(x) em produto de Fatores Irredutíveis |
João, fiquei na dúvida com o Z3[x] que aparece. Para mim ele modificaria a resolução do exercício. |
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| Autor: | Rugnravee [ 06 jul 2018, 08:02 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Álgebra - Fatorize f(x) em produto de Fatores Irredutíveis |
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| Autor: | Rui Carpentier [ 10 jul 2018, 13:49 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Álgebra - Fatorize f(x) em produto de Fatores Irredutíveis |
Penso que o pretendido é fatorizar o polinómio \(2x^3 - 2x^2 + 2x + 4\) em \(\mathbb{Z}_3\[x\]\) que é o anel dos polinómios sobre o corpo dos inteiros módulo três: \(\mathbb{Z}_3 = \{\overline{0},\overline{1},\overline{2}\}\) (ver aqui)*. Neste caso, como \(4 \equiv - 2 \mbox{ mod}3\), temos que \(\overline{2}x^3 - \overline{2}x^2 + \overline{2}x + \overline{4} = \overline{2}x^3 - \overline{2}x^2 + \overline{2}x - \overline{2} =\overline{2}(x-\overline{1})(x^2+\overline{1})\) em \(\mathbb{Z}_3\[x\]\) e não é difícil ver que os fatores são irredutíveis em \(\mathbb{Z}_3\[x\]\): \(x-\overline{1} = x+\overline{2}\) é irredutível por ser linear (grau mínimo) e \(x^2+\overline{1}\) é irredutível pois não se anula seja qual for o elemento \(x\in \mathbb{Z}_3 = \{\overline{0},\overline{1},\overline{2}\}\). * Não creio que se esteja a referir aos inteiros 3-ádicos que também se escrevem \(\mathbb{Z}_3\). |
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