O operador linear é diagonalizável?

[PRFC]

O operador linear T : R^4 → R^4 tal que T(x, y, z, t) = (x+y+z+t, x+y+z, y+z+t, x+y) é diagonalizável?

Tentei fazer por Cayley-Hamilton e pelo polinômio minimal, mas não consigo, ou não esteja aplicando o teorema corretamente.

[Rui Carpentier]

Sugestão: Use o facto de que se a multiplicidade algébrica de um valor próprio* do operador diferir da sua mutiplicidade geométrica então a matriz/operador não é diagonalizável. Veja concretamente o valor próprio \(\lambda =0\).
Outra possibilidade é ver que o polinómio mínimo não se fatoriza em fatores lineares distintos: \(\lambda_1 =0\) e \(\lambda_2 =3\) são os únicos valores próprios (autovalores) do operador (exercício) e no entanto \(t(t-3)\) não anula o operor (\(T^2-3T\not= 0\), exercício).

* creio que no Brasil se chama autovalor

[PRFC]

Muito obrigado, Rui!

[PierreQuadrado]

Rui, a matriz que representa o operador na base canónica não é \(A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 &1 \\ 1& 1& 1 & 0\\ 0 & 1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\)? Mas \(\lambda=0\) não é valor próprio desta matriz...

[Rui Carpentier]

Rui, a matriz que representa o operador na base canónica não é \(A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 &1 \\ 1& 1& 1 & 0\\ 0 & 1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\)? Mas \(\lambda=0\) não é valor próprio desta matriz...

Tem razão, por algum motivo considerei 0110 na última linha em vez de 1100. Claro que isso faz com que os valores próprios sejam outros, e para ver se é diagonalizável teremos de refazer os cálculos e verificar se as multiplicidades algébricas dos seus valores próprios coincidem ou não com as suas multiplicidades geométricas. Ou alternativamente, ver se o polinómio \((t-\lambda_1)(t-\lambda_2)\cdots (t-\lambda_k)\) anula o operador (sendo \(\lambda_1 ,\lambda_2 ,\dots ,\lambda_k\) os valores próprios distintos do operador).