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| O operador linear é diagonalizável? https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=13&t=13845 |
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| Autor: | PRFC [ 05 jun 2018, 00:42 ] |
| Título da Pergunta: | O operador linear é diagonalizável? |
O operador linear T : R^4 → R^4 tal que T(x, y, z, t) = (x+y+z+t, x+y+z, y+z+t, x+y) é diagonalizável? Tentei fazer por Cayley-Hamilton e pelo polinômio minimal, mas não consigo, ou não esteja aplicando o teorema corretamente. |
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| Autor: | Rui Carpentier [ 05 jun 2018, 14:38 ] |
| Título da Pergunta: | Re: O operador linear é diagonalizável? [resolvida] |
Sugestão: Use o facto de que se a multiplicidade algébrica de um valor próprio* do operador diferir da sua mutiplicidade geométrica então a matriz/operador não é diagonalizável. Veja concretamente o valor próprio \(\lambda =0\). Outra possibilidade é ver que o polinómio mínimo não se fatoriza em fatores lineares distintos: \(\lambda_1 =0\) e \(\lambda_2 =3\) são os únicos valores próprios (autovalores) do operador (exercício) e no entanto \(t(t-3)\) não anula o operor (\(T^2-3T\not= 0\), exercício). * creio que no Brasil se chama autovalor |
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| Autor: | PRFC [ 05 jun 2018, 19:30 ] |
| Título da Pergunta: | Re: O operador linear é diagonalizável? |
Muito obrigado, Rui! |
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| Autor: | PierreQuadrado [ 06 jun 2018, 08:04 ] |
| Título da Pergunta: | Re: O operador linear é diagonalizável? |
Rui, a matriz que representa o operador na base canónica não é \(A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 &1 \\ 1& 1& 1 & 0\\ 0 & 1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\)? Mas \(\lambda=0\) não é valor próprio desta matriz... |
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| Autor: | Rui Carpentier [ 06 jun 2018, 15:07 ] |
| Título da Pergunta: | Re: O operador linear é diagonalizável? |
PierreQuadrado Escreveu: Rui, a matriz que representa o operador na base canónica não é \(A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 &1 \\ 1& 1& 1 & 0\\ 0 & 1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\)? Mas \(\lambda=0\) não é valor próprio desta matriz... Tem razão, por algum motivo considerei 0110 na última linha em vez de 1100. Claro que isso faz com que os valores próprios sejam outros, e para ver se é diagonalizável teremos de refazer os cálculos e verificar se as multiplicidades algébricas dos seus valores próprios coincidem ou não com as suas multiplicidades geométricas. Ou alternativamente, ver se o polinómio \((t-\lambda_1)(t-\lambda_2)\cdots (t-\lambda_k)\) anula o operador (sendo \(\lambda_1 ,\lambda_2 ,\dots ,\lambda_k\) os valores próprios distintos do operador). |
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