Considere a matriz:

| 1 3 1 1 5 |
| -2 -6 0 4 -2 | = A
| 1 3 2 3 9 |

O posto de A, as dimensões dos dois subespaços, imagem de A e núcleo de A, e uma base para A são:

Tem que estudar a matéria teórica primeiro... Que tal começar pela definição de "posto"? O "posto" de uma matriz é o número máximo de linhas linearmente independentes. No caso, como a matriz tem 3 linhas, o posto apenas pode ser 0,1,2,3 (mesmo 0 está excluído pois a única matriz com posto 0 é a matriz nula). Agora dois factos relevantes:

1. A aplicação de operações elementares sobre as linhas de uma matriz não altera o valor do posto (op. elementares são a troca de linhas, multiplicação de uma linha por uma constante não nula, e somar a uma linha um múltiplo de outra).

2. Se uma matriz estiver em "escada de linhas" (o primeiro elemento não nulo de cada linha deve estar mais à direita que o primeiro elemento não nulo da linha anterior), o posto é simplesmente o número de linhas não nulas.

No seu caso, veja que

\(\begin{pmatrix} 1&3&1&1&5\\ -2&-6&0&4&-2\\ 1&3&2&3&9\end{matrix} \to \begin{pmatrix} 1&3&1&1&5\\ 0 & 0&2&6&8\\ 0&0&1&2&4\end{matrix}\to \begin{pmatrix} 1&3&1&1&5\\ 0 & 0&2&6&8\\ 0&0&0&-1&0\end{matrix}\)

A última matriz tem o mesmo posto que a primeira e está em forma de escada. Tendo 3 linhas não nulas, o posto é 3.

O posto é a dimensão da imagem, que é por isso 3. A dimensão do núcleo será a diferença entre o número de colunas e o posto, isto é, 2.