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Verificar se o conjunto é espaço vetorial
https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=13&t=13972		 Página 1 de 2
Autor:  sgtvinicius [ 01 set 2018, 22:50 ]
Título da Pergunta:  Verificar se o conjunto é espaço vetorial
Seja o conjunto
\(V=\left \{ \begin{bmatrix} 0 & a\\ b&0 \end{bmatrix}\epsilon \tex M 2x2; a \epsilon \mathbb{R} , b \epsilon \mathbb{R} \right \}\)
com as operações usuais

verifique se V é espaço vetorial, se não for, quais os axiomas não se verificam.
Autor:  sgtvinicius [ 02 set 2018, 15:26 ]
Título da Pergunta:  Re: Verificar se o conjunto é espaço vetorial
u=\begin{vmatrix}
0 &a1 \\
b1&0
\end{vmatrix} ;v=\begin{vmatrix}
0 &a2 \\
b2&0
\end{vmatrix}; w = \begin{vmatrix}
0 &a3 \\
b3&0
\end{vmatrix};

Então, verificando as propriedades:

A1)

u+(v+w)= \begin{vmatrix}
0 &a1 \\
b1&0
\end{vmatrix}+[\begin{vmatrix}
0 &a2 \\
b2&0
\end{vmatrix}+ \begin{vmatrix}
0 &a3 \\
b3&0
\end{vmatrix}]=\begin{vmatrix}
0 &a1 \\
b1&0
\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}
0 &a2+a3 \\
b2+b3&0
\end{vmatrix}
= \begin{vmatrix}
0 &a1+a2+a3 \\
b1+b2+b3&0
\end{vmatrix}

(u+v)+w= [\begin{vmatrix}
0 &a1 \\
b1&0
\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}
0 &a2 \\
b2&0
\end{vmatrix}]+ \begin{vmatrix}
0 &a3 \\
b3&0
\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}
0 &a1+a2 \\
b1+b2&0
\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}
0 &a3 \\
b3&0
\end{vmatrix}
= \begin{vmatrix}
0 &a1+a2+a3 \\
b1+b2+b3&0
\end{vmatrix}

u+(v+w)=(u+v)+w OK
Autor:  sgtvinicius [ 02 set 2018, 15:30 ]
Título da Pergunta:  Re: Verificar se o conjunto é espaço vetorial
sgtvinicius Escreveu:
Seja o conjunto
\(V=\left \{ \begin{bmatrix} 0 & a\\ b&0 \end{bmatrix}\epsilon \tex M 2x2; a \epsilon \mathbb{R} , b \epsilon \mathbb{R} \right \}\)
com as operações usuais

verifique se V é espaço vetorial, se não for, quais os axiomas não se verificam.

\(u=\begin{vmatrix}
0 &a1 \\
b1&0
\end{vmatrix} ;v=\begin{vmatrix}
0 &a2 \\
b2&0
\end{vmatrix}; w = \begin{vmatrix}
0 &a3 \\
b3&0
\end{vmatrix};\)

Então, verificando as propriedades:

A1)
\(u+(v+w)= \begin{vmatrix}
0 &a1 \\
b1&0
\end{vmatrix}+[\begin{vmatrix}
0 &a2 \\
b2&0
\end{vmatrix}+ \begin{vmatrix}
0 &a3 \\
b3&0
\end{vmatrix}]=\begin{vmatrix}
0 &a1 \\
b1&0
\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}
0 &a2+a3 \\
b2+b3&0
\end{vmatrix}
= \begin{vmatrix}
0 &a1+a2+a3 \\
b1+b2+b3&0
\end{vmatrix}\)

\((u+v)+w= [\begin{vmatrix}
0 &a1 \\
b1&0
\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}
0 &a2 \\
b2&0
\end{vmatrix}]+ \begin{vmatrix}
0 &a3 \\
b3&0
\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}
0 &a1+a2 \\
b1+b2&0
\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}
0 &a3 \\
b3&0
\end{vmatrix}
= \begin{vmatrix}
0 &a1+a2+a3 \\
b1+b2+b3&0
\end{vmatrix}\)

u+(v+w)=(u+v)+w OK
Autor:  sgtvinicius [ 02 set 2018, 15:37 ]
Título da Pergunta:  Re: Verificar se o conjunto é espaço vetorial
verificando o axioma A2:

u+v = v+u

\(\begin{vmatrix} 0 & a1\\ b1 & 0 \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} 0 & a2\\ b2 & 0 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 0 & a2\\ b2 & 0 \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} 0 & a1\\ b1 & 0 \end{vmatrix}\Leftrightarrow \begin{vmatrix} 0 & a1+a2\\ b1+b2 & 0 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 0 & a2+a1\\ b2+b1 & 0 \end{vmatrix}; (a1+a2)=(a2+a1); (b1+b2)=(b2+b1)\)

logo o axioma 2 está verificado.
Autor:  sgtvinicius [ 02 set 2018, 15:42 ]
Título da Pergunta:  Re: Verificar se o conjunto é espaço vetorial
A3)

\(\begin{vmatrix} 0 & 0\\ 0 & 0 \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} 0 & a1\\ b1 & 0 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 0 & a1\\ b1 & 0 \end{vmatrix} \Rightarrow 0+u=u\)
Autor:  sgtvinicius [ 02 set 2018, 15:44 ]
Título da Pergunta:  Re: Verificar se o conjunto é espaço vetorial
A4)

u+ (-u) = 0

\(\begin{vmatrix} 0 & a1\\ b1 & 0 \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} 0 & -a1\\ -b1 & 0 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 0 & a1-a1\\ b1-b1 & 0 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 0 & 0\\ 0 & 0 \end{vmatrix}\)

A4 verificado
Autor:  sgtvinicius [ 02 set 2018, 15:53 ]
Título da Pergunta:  Re: Verificar se o conjunto é espaço vetorial
Axioma M1:

\(\left ( \alpha +\beta \right )u = \alpha u+\beta u\)

\(\left ( \alpha +\beta \right )\begin{vmatrix} 0 & a1\\ b1 & 0 \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} 0 &(\alpha +\beta ) a1\\ (\alpha +\beta )b1 & 0 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 0 &\alpha a1 +\beta a1\\ \alpha b1 +\beta b1 & 0 \end{vmatrix}\)

\(\alpha \begin{vmatrix} 0 & a1\\ b1& 0 \end{vmatrix}+ \beta \begin{vmatrix} 0 & a1\\ b1& 0 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 0 & \alpha a1\\ \alpha b1& 0 \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} 0 & \beta a1\\ \beta b1& 0 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 0 & \alpha a1+\beta a1\\ \alpha b1+\beta b1& 0 \end{vmatrix}\)

\(\left ( \alpha +\beta \right )u = \alpha u+\beta u\)verificado
Autor:  sgtvinicius [ 02 set 2018, 16:08 ]
Título da Pergunta:  Re: Verificar se o conjunto é espaço vetorial
Axioma M2

\(\alpha [\begin{vmatrix}
0 &a1 \\
b1&0
\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}
0 &a2 \\
b2&0
\end{vmatrix} ]= \alpha \begin{vmatrix}
0 &a1 \\
b1&0
\end{vmatrix} + \alpha \begin{vmatrix}
0 &a2 \\
b2&0
\end{vmatrix}\)

\(\alpha \begin{vmatrix}
0 &a1+a2 \\
b1+b2&0
\end{vmatrix}= \begin{vmatrix}
0 &\alpha a1 \\
\alpha b1&0
\end{vmatrix} + \begin{vmatrix}
0 &\alpha a2 \\
\alpha b2&0
\end{vmatrix}\)


\(\begin{vmatrix}
0 &\alpha a1+\alpha a2 \\
\alpha b1+\alpha b2&0
\end{vmatrix}= \begin{vmatrix}
0 &\alpha a1 + \alpha a2\\
\alpha b1+ \alpha b2&0
\end{vmatrix}\)

verificado !
Autor:  sgtvinicius [ 02 set 2018, 16:17 ]
Título da Pergunta:  Re: Verificar se o conjunto é espaço vetorial
Axioma M3


\((\alpha \beta) u=\alpha (\beta u)\)

\((\alpha \beta )\begin{vmatrix} 0 & a1\\ b1 & 0 \end{vmatrix}=\alpha (\beta \begin{vmatrix} 0 &a1 \\ b1 & 0 \end{vmatrix})\)
\(\begin{vmatrix} 0 &\alpha \beta a1 \\ \alpha \beta b1 & 0 \end{vmatrix}=\alpha \begin{vmatrix} 0 & \beta a1 \\ \beta b1 & 0 \end{vmatrix}\)
\(\begin{vmatrix} 0 &\alpha \beta a1 \\ \alpha \beta b1 & 0 \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} 0 & \alpha \beta a1 \\ \alpha \beta b1 & 0 \end{vmatrix}\)

verificado
Autor:  sgtvinicius [ 02 set 2018, 16:19 ]
Título da Pergunta:  Re: Verificar se o conjunto é espaço vetorial
Axioma M4

1.u = u

\(1.\begin{vmatrix} 0 & a1\\ b1& 0 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 0 & a1\\ b1& 0 \end{vmatrix}\)

\(\begin{vmatrix} 0 & 1.a1\\ 1.b1& 0 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 0 & a1\\ b1& 0 \end{vmatrix}\)

\(\begin{vmatrix} 0 & a1\\ b1& 0 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 0 & a1\\ b1& 0 \end{vmatrix}\)

verificado.
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