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DÚVIDAS? Nós respondemos!

Gostaria primeiro que alguém corrigisse a primeira questão e em seguida postarei uma em que não consigo fazer mesmo sendo análoga a anterior.

Se \(dim V = 1\) e se \({u}\) for base de V, considere \(g_1=\frac{u_1}{||u_1||}\) e então \(B={g_1}\) será uma base ortogonal.

Se \(dim V = 2\) seja \({u_1,u_2}\) base de \(V\).

Seja \(g_1=\frac{u_1}{||u_1||}\). Tem-se \(||g_1||\)

Tome \(w_2=w_2-<u_2,g_1>g_1\)

Tem-se que \(<w_2,g_1>=0\)

\(g_2=\frac{w_2}{||w_2||}\)

\(B={g_1,g_2}\)




Agora não consigo resolver em relação ao \(\Re^3\).

\(B={u_1,u_2,u_3}\). B (com traço em cima) ortonormal.

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"O que sabemos é uma gota, o que não sabemos é um oceano." - Isaac Newton

O processo de ortogonalização de Gram-Schimdt consiste, tal como esboçou para dimensão 1 e 2, em subtrair a cada elemento da base do espaço as suas projeções ortogonais sobre os elementos anteriores (já ortogonalizados). A partir de uma base \((u_1, \cdots , u_n)\) obtem-se primeiro uma base ortogonal \((v_1, \cdots , v_n)\) pelo seguinte processo:

\(v_1 = u_1
v_2 = u_2 - \frac{<u_2,v_1>}{<v_1,v_1>}v_1
v_3 = u_3 - \frac{<u_3,v_1>}{<v_1,v_1>}v_1 -\frac{<u_3,v_2>}{<u_3,v_2>}v_2
\cdots
v_n = u_n - \sum_{i=1}^{n-1} \frac{<u_n,v_i>}{<v_i,v_i>}v_i\)

Obtida uma base ortogonal, pode agora dividir cada elemento da base pela sua norma para obter a base ortonormal

\(\left( \frac{v_1}{\|v_1\|}, \cdots, \frac{v_n}{\|v_n\|}\right)\).

Continuo não entendendo. Acho essa matéria meio abstrata, se puder detalhar mais o problema, pq com a resolução eu possa tentar entender tudo.

Obrigado

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"O que sabemos é uma gota, o que não sabemos é um oceano." - Isaac Newton

A ideia fundamental é a de projecção ortogonal. Qualquer vector u pode ser decomposto na soma de outros dois: Um deles ortogonal a um dado vector v e outro colinear com v. O principio do método é que a parte de u que é colinear a v não é necessária (pois já pode ser obtida à custa de v), sendo aproveitada apenas a parte de u que é ortogonal a v. Todo o processo corresponde apenas a uma forma sistemática de ir obtendo vectores ortogonais a todos os anteriores, chegando ao final com um conjunto de n vectores ortogonais que constituem por isso uma base ortogonal do espaço de dimensão n. Vejamos então mais detalhadamente:

1. Escolhemos \(v_1 = u_1\)
Nesta fase, como se trata do primeiro vector que estamos a incluir na base ortogonal, ainda não exigimos nada, limitando-nos a escolher o primeiro vector da base anterior.

2. Vamos agora escolher o segundo vector da base. Se queremos obter uma base ortogonal, o vector \(v_2\) deve ser escolhido de modo a ser ortogonal ao vector \(v_1\), para deste modo ficarmos com dois vectores ortogonais entre si. Para atingir esse objectivo, subtraimos ao vector \(u_2\) a sua projecção ortogonal sobre \(v_1\), obtendo assim um vector ortogonal a este.

\(v_2 = u_2 - \underbrace{\frac{<v_1,u_2>}{<v_1,v_1>} v_1}_{\textrm{Parte de } u_2 \textrm{ colinear com } v_1}\)

De facto podemos verificar que


\(<v_2, v_1> = <u_2 - \frac{<v_1,u_2>}{<v_1,v_1>} v_1, v_1> = <u_2,v_1> - <\frac{<v_1,u_2>}{<v_1,v_1>} v_1,v_1>= <u_2,v_1>-\frac{<v_1,u_2>}{<v_1,v_1>}<v_1,v_1>=<u_2,v_1> - <v_1,u_2> = 0\)

3. Vamos agora escolher o terceiro vector da base ortogonal de modo a ser ortogonal aos dois anteriores, isto é, deve ser ortogonal a v_1 e a v_2. Usamos o mesmo principio retirando a u_3 as suas x projecções ortogonais sobre u_1 e u_2, ou seja

\(v_3 = u_3 \quad - \quad \underbrace{\frac{<v_1,u_3>}{<v_1,v_1>} v_1}_{\textrm{Parte de } u_3 \textrm{ colinear com } v_1} \qquad - \qquad \underbrace{\frac{<v_2,u_3>}{<v_2,v_2>} v_2}_{\textrm{Parte de } u_3 \textrm{ colinear com } v_2}\)

Novamente, podemos verificar que v_3 assim escolhido é ortogonal a v_1 e v_2 ...

\(<v_3,v_1> = \langle u_3 - \frac{<v_1,u_3>}{<v_1,v_1>} v_1-\frac{<v_2,u_3>}{<v_2,v_2>} v_2, v_1\rangle = <u_3,v_1> -\frac{<v_1,u_3>}{<v_1,v_1>} \langle v_1, v_1\rangle - \frac{<v_2,u_3>}{<v_2,v_2>} <v_2,v_1> = <u_3,v_1> -<v_1,u_3>-0 = 0\)

\(<v_3,v_2> = \langle u_3 - \frac{<v_1,u_3>}{<v_1,v_1>} v_1-\frac{<v_2,u_3>}{<v_2,v_2>} v_2, v_2\rangle = <u_3,v_2> -\frac{<v_1,u_3>}{<v_1,v_2>} \langle v_1, v_1\rangle - \frac{<v_2,u_3>}{<v_2,v_2>} <v_2,v_2> = <u_3,v_2> -0-<v_2,u_3>= 0\)

O processo continua, inserindo em cada passo um vector \(v_i\) que é ortogonal a todos os vectores já introduzidos \(v_1, \cdots, v_{i-1}\). Ao acrescentar o n-ésimo vector ficamos com um conjunto de n vectores ortogonais.