A ideia fundamental é a de projecção ortogonal. Qualquer vector u pode ser decomposto na soma de outros dois: Um deles ortogonal a um dado vector v e outro colinear com v. O principio do método é que a parte de u que é colinear a v não é necessária (pois já pode ser obtida à custa de v), sendo aproveitada apenas a parte de u que é ortogonal a v. Todo o processo corresponde apenas a uma forma sistemática de ir obtendo vectores ortogonais a todos os anteriores, chegando ao final com um conjunto de n vectores ortogonais que constituem por isso uma base ortogonal do espaço de dimensão n. Vejamos então mais detalhadamente:
1. Escolhemos \(v_1 = u_1\)
Nesta fase, como se trata do primeiro vector que estamos a incluir na base ortogonal, ainda não exigimos nada, limitando-nos a escolher o primeiro vector da base anterior.
2. Vamos agora escolher o segundo vector da base. Se queremos obter uma base ortogonal, o vector \(v_2\) deve ser escolhido de modo a ser ortogonal ao vector \(v_1\), para deste modo ficarmos com dois vectores ortogonais entre si. Para atingir esse objectivo, subtraimos ao vector \(u_2\) a sua projecção ortogonal sobre \(v_1\), obtendo assim um vector ortogonal a este.
\(v_2 = u_2 - \underbrace{\frac{<v_1,u_2>}{<v_1,v_1>} v_1}_{\textrm{Parte de } u_2 \textrm{ colinear com } v_1}\)
De facto podemos verificar que
\(<v_2, v_1> = <u_2 - \frac{<v_1,u_2>}{<v_1,v_1>} v_1, v_1> = <u_2,v_1> - <\frac{<v_1,u_2>}{<v_1,v_1>} v_1,v_1>= <u_2,v_1>-\frac{<v_1,u_2>}{<v_1,v_1>}<v_1,v_1>=<u_2,v_1> - <v_1,u_2> = 0\)
3. Vamos agora escolher o terceiro vector da base ortogonal de modo a ser ortogonal aos dois anteriores, isto é, deve ser ortogonal a v_1 e a v_2. Usamos o mesmo principio retirando a u_3 as suas x projecções ortogonais sobre u_1 e u_2, ou seja
\(v_3 = u_3 \quad - \quad \underbrace{\frac{<v_1,u_3>}{<v_1,v_1>} v_1}_{\textrm{Parte de } u_3 \textrm{ colinear com } v_1} \qquad - \qquad \underbrace{\frac{<v_2,u_3>}{<v_2,v_2>} v_2}_{\textrm{Parte de } u_3 \textrm{ colinear com } v_2}\)
Novamente, podemos verificar que v_3 assim escolhido é ortogonal a v_1 e v_2 ...
\(<v_3,v_1> = \langle u_3 - \frac{<v_1,u_3>}{<v_1,v_1>} v_1-\frac{<v_2,u_3>}{<v_2,v_2>} v_2, v_1\rangle = <u_3,v_1> -\frac{<v_1,u_3>}{<v_1,v_1>} \langle v_1, v_1\rangle - \frac{<v_2,u_3>}{<v_2,v_2>} <v_2,v_1> = <u_3,v_1> -<v_1,u_3>-0 = 0\)
\(<v_3,v_2> = \langle u_3 - \frac{<v_1,u_3>}{<v_1,v_1>} v_1-\frac{<v_2,u_3>}{<v_2,v_2>} v_2, v_2\rangle = <u_3,v_2> -\frac{<v_1,u_3>}{<v_1,v_2>} \langle v_1, v_1\rangle - \frac{<v_2,u_3>}{<v_2,v_2>} <v_2,v_2> = <u_3,v_2> -0-<v_2,u_3>= 0\)
O processo continua, inserindo em cada passo um vector \(v_i\) que é ortogonal a todos os vectores já introduzidos \(v_1, \cdots, v_{i-1}\). Ao acrescentar o n-ésimo vector ficamos com um conjunto de n vectores ortogonais.
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