Alguém pode ajudar? Não consigo encontrar o resultado.
R: t>9Sejam u = (x1, x2) e v = (y1, y2) vetores genéricos do R2 , encontre os valores de t ∈ R
para os quais a funç ão <u, v> = x1y1 + tx2y2 é um produto interno em R2.
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| Espaços vetoriais com produto interno https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=13&t=1822 |
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| Autor: | PGFR [ 18 fev 2013, 15:04 ] |
| Título da Pergunta: | Espaços vetoriais com produto interno |
Alguém pode ajudar? Não consigo encontrar o resultado. R: t>9Sejam u = (x1, x2) e v = (y1, y2) vetores genéricos do R2 , encontre os valores de t ∈ R para os quais a funç ão <u, v> = x1y1 + tx2y2 é um produto interno em R2. |
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| Autor: | Sobolev [ 18 fev 2013, 18:36 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Espaços vetoriais com produto interno |
Dado um espaço vectorial real V, uma aplicação \(<\cdot,\cdot>: V \times V \to \mathbb{R}\) é um produto interno se e só se verifica as seguintes propriedades: 1) Positividade \(<u,u> \ge 0 \quad e \quad <u,u> = 0 \Leftrightarrow u = 0\) Neste caso, \(<u,u> = u_1^2 + t u_2^2\) Para esta quantidade verificar a propriedade acima devemos ter t > 0. 2) Simetria \(<u,v> = <v,u>\) Neste caso, \(<u,v> = <v,u> \Leftrightarrow u_1 v_1 + t u_2,v_2 = v_1 u_1 + t v_2 u_2\) o que é sempre verificado. 3) Linearidade \(\langle\alpha u + w, v\rangle = \alpha \langle u , v \rangle + \langle w , v \rangle\) Neste caso, \(\langle\alpha u+w, v\rangle = (\alpha u_1+w_1) v_1 + t(\alpha u_2+w_2) v_2 = \alpha (u_1 v_1 + t u_2 v_2) + (w_1 v_1 + t w_2 v_2) = \alpha \langle u,u \rangle + \langle w,v \rangle\) Pelo que a priopriedade 3) é sempre verificada. Assim, a aplicação proposta define um produto interno em \(\mathbb{R}^2\) para qualquer t > 0. |
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| Autor: | PGFR [ 18 fev 2013, 21:46 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Espaços vetoriais com produto interno |
Foi o que eu pensei, mas o gabarito do exercício diz que t > 9 e não t > 0. Não entendo porque t > 9. |
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| Autor: | Sobolev [ 18 fev 2013, 22:19 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Espaços vetoriais com produto interno [resolvida] |
O gabarito está certamente errado... basta pensar que o produto interno usual corresponde a t = 1 ... |
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| Autor: | PGFR [ 18 fev 2013, 23:14 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Espaços vetoriais com produto interno |
Obrigada!! |
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