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| Funcional linear https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=13&t=3500 |
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| Autor: | Walter R [ 04 set 2013, 18:57 ] |
| Título da Pergunta: | Funcional linear [resolvida] |
Encontrei o seguinte exercício sobre álgebra linear. O enunciado é o seguinte: "Seja \(f:E\rightarrow \mathbb{R}\) um funcional linear não-nulo no espaço vetorial \(E\), de dimensão \(n\). Prove que existe uma base \(\left \{ u_1 ... u_n \right \}\)\(\subset E\), tal que\(f(u_{1})=...=f(u_{n-1})=0\) e \(f(u_{n})=1\)". O exercício ainda dá uma dica, que é esta: tomar \(u_{i}=v_{i}-\frac{f(v_{i})}{f(v_{n})}v_{n};(i=1,...,n-1);u_{n}=\frac{v_{n}}{f(v_{n})}\), onde \(\left \{ v_{1},...,v_{n} \right \}\) é uma base qualquer de \(E\). Não consegui concluir. Alguém poderia ajudar? |
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| Autor: | josesousa [ 05 set 2013, 12:14 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Funcional linear |
Tente olhar para a decomposição de Cauchy Schwarz, que vai ajudar |
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| Autor: | npl [ 05 set 2013, 12:54 ] |
| Título da Pergunta: | Estruturação da pergunta correcta? |
Caro Walter Se o funcional linear é não-singular/nulo, como é que o resultado do funcional linear aplicado a alguns vectores da base dão como resultado 0? Aquilo que escreve mais abaixo parece-me ter a ver a com a ortogonalização de Gram-Schmidt, mas não me parece que possa ser exactamente nos termos que descreve, conforme a minha pergunta anterior sugere. Outra pergunta poderia ser, como se divide um vector pelo resultado do funcional linear aplicado a outro vector? |
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| Autor: | Rui Carpentier [ 06 set 2013, 15:55 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Funcional linear |
Citar: Se o funcional linear é não-singular/nulo, como é que o resultado do funcional linear aplicado a alguns vectores da base dão como resultado 0? Um funcional f só é nulo se f(v)=0 para todo o vetor v, basta que exista um vetor \(v\in E\) tal que \(f(v)\not=0\) para que o funcional seja não-nulo. Assim sendo, dada uma base \(\{v_1, \dots, v_n\}\) de \(E\) existe um elemento (podemos supor \(v_n\)) tal que \(f(v_n)\not=0\) (se f se anulasse em toda a base f seria um funcional nulo). Agora é só definir uma nova base no modo como é indicado na dica: \(u_i=v_i -\frac{f(v_i)}{f(v_n)}v_n\) se \(i\not= n\), \(u_n=\frac{v_n}{f(v_n)}\) E verificar duas coisas: (1) Que \(\{u_1,\dots ,u_n\}\) satisfaz o que pedido (é só usar o facto de f ser linear e fazer as contas). (2) Que \(\{u_1,\dots ,u_n\}\) definido daquela forma é uma base (é só ver que a matriz mudança de base é não-singular). |
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| Autor: | npl [ 07 set 2013, 15:52 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Funcional linear |
Rui Carpentier Escreveu: Citar: Se o funcional linear é não-singular/nulo, como é que o resultado do funcional linear aplicado a alguns vectores da base dão como resultado 0? Um funcional f só é nulo se f(v)=0 para todo o vetor v, basta que exista um vetor \(v\in E\) tal que \(f(v)\not=0\) para que o funcional seja não-nulo. Bom vou então expor uma citação do meu livro de álgebra linear para tentarmos esclarecer esta definição: "Diz-se que uma transformação linear F: V -> U é singular se existe v \(\epsilon\) V sendo v \(\neq\) 0 mas F(v)=0. Cumprimentos, NPL. |
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| Autor: | Rui Carpentier [ 09 set 2013, 16:13 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Funcional linear |
Caro NPL, Na questão inicial não é dito que o funcional tenha que ser não-singular, até porque não faz muito sentido. Um funcional é por definição uma transformação linear com domínio num espaço linear E (sobre um corpo K) e contradomínio no corpo K (o corpo associado ao espaço linear E), assim sendo um funcional num espaço de dimensão superior a um é sempre uma transformação linear singular. Espero que tenha resolvido a sua dúvida. Cumprimentos, Rui Carpentier |
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| Autor: | npl [ 09 set 2013, 21:21 ] |
| Título da Pergunta: | "Não-nulo" Vs "Não-singular". |
Walter R Escreveu: Seja \(f:E\rightarrow \mathbb{R}\) um funcional linear não-nulo Rui Carpentier Escreveu: Na questão inicial não é dito que o funcional tenha que ser não-singular ?? Não se entende por "não-nulo" o mesmo que "não-singular"? Quando tiver mais tempo observo isto com mais atenção. Obrigado pela resposta Rui Carpentier! Cumprimentos, NPL. |
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