Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

Olá, pessoal.

Vocês podem me ajudar nessa questão?

Tens de entender uma matriz diagonal como uma matriz cuja diagonal possa assumir quaisquer valores, inclusivé 0. Assim, para mostrares que é subespaço vectorial tens só de mostrar que o elemento nulo de \(M_{3\times 3}\) pertence a D e que D é fechado para a soma e para o produto por escalares (estás familiarizado com estes dois conceitos?). Na segunda questão, podemos construir uma base pseudo-canónica, que seriam três matrizes, três por três, cada uma com um 1 numa diferente posição da diagonal.

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Marco Tavares Pereira
Tudo é trivial, para alguém.
http://www.matematicaviva.pt/

Não consigo visualizar bem isto que você me apontou.
Pode me dar exemplos?

Att.

Nilson

Temos que \(M_{3 \times 3}\) é um espaço vectorial e D é um subconjunto deste. Assim, se se verificarem as seguintes condições, mostramos que D é subespaço vectorial de \(M_{3 \times 3}\):
1) O elemento nulo de V está em D.
2) Se u ∈ D e v ∈ S então u + v ∈ D.
3) Se u ∈ D e a ∈ R então a*u∈D.
A demonstração passa mesmo por isto, a matriz com todas as entradas nulas pertence claramente a D, logo 1) é trivial.
Sejam agora U e V duas matrizes em D, (e desenhas mesmo as matrizes tipo:
\(\\ \begin{bmatrix} u_1&0 & 0\\ 0&u_2 & 0\\ 0&0 & u_3 \end{bmatrix}\\\)
Depois somas as duas matrizes e claramente que a soma destas será uma diagonal, portanto pertencente a D. E de forma análoga para 3).
Em relação ao segundo exercício, é como calcular uma base para um exercício com vectores:\(\begin{bmatrix} u_1 & 0 &0 \\ 0 & u_2 &0 \\ 0 & 0 & u_3 \end{bmatrix} =u_1* \begin{bmatrix} 1 & 0 &0 \\ 0 & 0 &0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} + u_2*\begin{bmatrix} 0 & 0 &0 \\ 0 & 1 &0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} +u_3*\begin{bmatrix} 0 & 0 &0 \\ 0 & 0 &0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\)
Logo estas três matrizes constituem uma base do subespaço vectorial D.

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Marco Tavares Pereira
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