Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

Alguém pode me ajudar com essa questão:

Defina espaco vetorial, e dê um exemplo de espaço vetorial de dimensão 2 que não seja o R^2.

Definição: Espaço vectorial, também designado por espaço linear, é um conjunto não-vazio V se lhe estão associadas duas operações, uma adição de elementos de V e uma multiplicação de números reais por elementos de V, com as seguintes propriedades:

1. A soma de qualquer par de elementos de V pertence a V;

2. O produto de qualquer número real por qualquer elemento de V pertence a V;

3. x+y=y+x, para x,y pertencentes a V;

4. (x+y)+z=x+(y+z), para x,y e z pertencentes a V;

5. Existe um elemento de V, designado por 0 (zero) tal que x+0=x, para x pertencente a V;

6. Qualquer que seja o elemento x de V existe um elemento y de V a que se chama o simétrico de x, tal que x+y=0;

7. a(bx)=(ab)x, para a,b pertencentes a \(\mathbb{R}\), x,y pertencentes a V;

8. a(x+y)=ax+ay, e (a+b)x=ax+bx, para a,b pertencentes a \(\mathbb{R}\), x,y pertencentes a V;

9. 1x=x, para x pertencente a V.

Os elementos de um espaço vectorial são designados por vectores e os multiplicadores por escalares.

Exemplo de um espaço vectorial de dimensão 2 que não é \(\mathbb{R}\)²: qualquer subspaço não-vazio de \(\mathbb{R}\)² é um espaço vectorial de dimensão 2. Por exemplo, qualquer recta que passe na origem é um espaço vectorial de dimensão 2.