Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

Quero provar a seguinte afirmação: Sejam \(F_1\) e \(F_2\) subespaços de dimensão finita de um espaço vetorial \(E\). Então, tem-se \(dimF_1+dimF_2=dim(F_1\cap F_2)+dim(F_1+F_2)\).

Tentativa:

Definimos a transformação linear \(A:(F_1XF_2)\rightarrow F_1+F_2\), tal que \(A(u,v)=u+v\), onde \(u\in F_1\) e \(v\in F_2\). O núcleo de \(A\) é formado pelos pares \((u,v)\), tais que \(u+v=0\Rightarrow u=-v\). Logo, \(u\) e \(v\) pertencem ambos a \(F_1\) e \(F_2\), ou seja, \(N(A)=\left \{ (u,-u);u\in F_1\cap F_2 \right\}.\).

Lema: Seja \(B:F_1\cap F_2\rightarrow N(A)\) tal que \(u \mapsto (u,-u)\). Então \(B\) é um isomorfismo.
prova: de fato, \(B\) é injetiva pois \(B(u)=B(v)\Rightarrow (u,-u)=(v,-v)\Rightarrow u=v\). \(B\) é também sobrejetiva, pois \(\forall (u,-u)\in N(A), \exists u\in F_1\cap F_2\), tal que \(B(u)=(u,-u)\). Portanto: \(dimN(A)=dim(F_1\cap F_2)\)


Assim, pelo Teorema do Núcleo e da Imagem, temos:
\(dim(F_1XF_2)=dimN(A)+dim(F_1+F_2)\Rightarrow dim(F_1XF_2)= dim(F_1\cap F_2)+dim(F_1+F_2)\)

Até aqui cheguei. Alguém poderia me ajudar a prosseguir?

Agora é só fazer o mais fácil que é provar que \(\dim (F_1\times F_2)=\dim F_1 +\dim F_2\). Para tal basta mostrar que se \(\{u_1,\dots ,u_k\}\) é base de \(F_1\) e \(\{v_1,\dots ,v_\ell\}\) é base de \(F_1\) então \(\{(u_1,0),\dots ,(u_k,0)\}\cup \{(0,v_1),\dots ,(0,v_\ell)\}\) é base de \(F_1\times F_2\) o que não é muito difícil.