Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

Boa tarde, pessoal.

Alguém pode me ajudar na resolução dessa questão?

Obrigado.

Sugestão :

|| u + lambda v||^2 = <u+\lambda v,u+\lambda v> = <u,u+\lambda v> + <\lambda v , u + \lambda v > = <u,u> + <u,\lambda v > + <\lambda v,u> + <\lambda v , \lambda v > = ||u||^2 + 2 \lambda <u,v>+ \lambda^2 ||v||^2 para todo escalar \lambda

Em particular com \lambda = \pm 1 , somando-se as expressões segue o resultado .

Como assim?
Não entendi como faço pra chegar ao resultado.

Também achei que ficou um pouco confusa a demonstração.

Basta desenvolver o lado direito (que é mais fácil ) , trocando \(\lambda\) por \(-1\) vamos o obter \(||u-v||^2\) e trocando \(\lambda\) por \(1\) vamos obter \(||u+v||^2\) .

Observe :
|| u - v||^2 = <u- v,u- v> = <u,u-v> + <- v , u - v > = <u,u> + <u,- v > + <- v,u> + <- v , - v > =

\(||u||^2 -2 <u,v>+ ||v||^2\)

e similarmente vamos obter

\(||u+v||^2 = ||u||^2 + 2 <u,v>+ ||v||^2\)

Somando etas expressões o resultado segue .