Boa tarde, pessoal.
Alguém pode me ajudar na resolução dessa questão?
Obrigado.
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| Seja V um espaço vetorial com produto interno. Mostre que, para quaisquer u e v pertencente a V , vale... https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=13&t=4410 |
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| Autor: | NiGoRi [ 24 nov 2013, 16:48 ] | ||
| Título da Pergunta: | Seja V um espaço vetorial com produto interno. Mostre que, para quaisquer u e v pertencente a V , vale... | ||
Boa tarde, pessoal. Alguém pode me ajudar na resolução dessa questão? Obrigado.
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| Autor: | santhiago [ 24 nov 2013, 20:20 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Seja V um espaço vetorial com produto interno. Mostre que, para quaisquer u e v pertencente a V , vale... |
Sugestão : || u + lambda v||^2 = <u+\lambda v,u+\lambda v> = <u,u+\lambda v> + <\lambda v , u + \lambda v > = <u,u> + <u,\lambda v > + <\lambda v,u> + <\lambda v , \lambda v > = ||u||^2 + 2 \lambda <u,v>+ \lambda^2 ||v||^2 para todo escalar \lambda Em particular com \lambda = \pm 1 , somando-se as expressões segue o resultado . |
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| Autor: | NiGoRi [ 26 nov 2013, 01:59 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Seja V um espaço vetorial com produto interno. Mostre que, para quaisquer u e v pertencente a V , vale... |
Como assim? Não entendi como faço pra chegar ao resultado. |
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| Autor: | Kito [ 26 nov 2013, 02:52 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Seja V um espaço vetorial com produto interno. Mostre que, para quaisquer u e v pertencente a V , vale... |
Também achei que ficou um pouco confusa a demonstração. |
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| Autor: | santhiago [ 27 nov 2013, 00:27 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Seja V um espaço vetorial com produto interno. Mostre que, para quaisquer u e v pertencente a V , vale... |
Basta desenvolver o lado direito (que é mais fácil ) , trocando \(\lambda\) por \(-1\) vamos o obter \(||u-v||^2\) e trocando \(\lambda\) por \(1\) vamos obter \(||u+v||^2\) . Observe : || u - v||^2 = <u- v,u- v> = <u,u-v> + <- v , u - v > = <u,u> + <u,- v > + <- v,u> + <- v , - v > = \(||u||^2 -2 <u,v>+ ||v||^2\) e similarmente vamos obter \(||u+v||^2 = ||u||^2 + 2 <u,v>+ ||v||^2\) Somando etas expressões o resultado segue . |
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