Olá Jarbas
Considerando R³ com produto interno usual, e dado S={(3y-z, y, z) : y, z em R} sub-espaço vectorial de R³ . Determine S┴ , S∩S┴ , S+S┴.
\(\Delta :\) Todos os vetores do espaço ortogonal a um sub-espaço vectorial são perpendiculares a qualquer vector deste espaço, em particular, perpendiculares a qualquer sistema gerador deste espaço.
Vamos determinar um sistema gerador de S, e a partir deste determinar S┴.
Tomando o vector genérico de S, (3y-z, y, z) = y (3,1,0) + z (-1,0,1) obtêm-se o sistema gerador S = <(3,1,0),(-1,0,1)>
Então, qualquer vector (a,b,c) de S┴ terá de satisfazer
\(\left\{\begin{matrix} (3,1,0)\cdot (a,b,c)=0\\ (-1,0,1)\cdot (a,b,c)=0 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 3a+b=0 \\ -a+c=0 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} b=-3a \\ c=a \end{matrix}\right.\)
Logo (a,b,c) = (a,-3a,a) = a (1,-3,1) e S┴ = <(1,-3,1)>.
Quanto a S∩S┴, uma vez que são ortogonais e que são ambos sub-espaços vectoriais de R³, então S∩S┴ = {(0,0,0)}.
Finalmente, S+S┴ = {(x,y,z) de R³ : (x,y,z) = a (3,1,0) + b (-1,0,1) + c (1,-3,1) , a,b,c em R} = R³ já que se trata de um sistema de 3 vectores linearmente independente.
Bom estudo
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