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Pessoal,

Estou passando um "sufoco" em álgebra linear.

Alguém pode me ajudar nessa questão?

Vou escolher uma das alíneas... digamos a segunda, isto é \(T : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2\) com \(T(x,y,x)=(x+z,y)\).

1. A aplicação será sobrejectiva se a sua imagem for todo o espaço \(\mathbb{R}^2\). Realmente, tomando z = 0, obtemos qualquer vector (x,y) com x,y números reais, o que significa que a aplicação é de facto sobrejectiva.

2. Relativamente à injectividade, uma aplicação linear é injectiva se o seu espaço nulo for o conjunto constituído pelo vector nulo. Neste caso, como T(x, 0, -x) = (0 , 0), vemos que o espaço nulo tem outros elementos além de (0,0,0), pelo que a aplicação não é injectiva. (Existe uma infinidade de vectores distintos com a mesma imagem)

Sobolev,

Entendi o que você me expôs como exemplo, mas não estou conseguindo aplicar na alínea a.

Tem como você me ajudar?

A primeira questão é mais simples... daí ter escolhido a segunda

1. Sobrejectividade: Como T(x,y)=y e y pode tomar qualquer valor real (assim como x) então T(x,y) toma qualquer valor no espaço de chegada, pelo que a aplicação é sobrejectiva.

2. Injectividade: T(x,0) = 0, qualquer que seja o x considerado. Então o núcleo da aplicação não se reduz ao elemento (0,0) pelo que a aplicação não é injectiva.