Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

Como sabemos, foi provado que a série dos inversos dos primos, isto é, a soma destes inversos é divergente, ou seja, tende ao infinito. Porém, quando eu resolvia um problema de teoria dos números, me deparei com a seguinte questão:achar o número primo \(p\) suficientemente grande para o qual, \(1/2+1/3+1/5+...+1/p>2,5\).
Eu ficaria muito grato se alguém que entendesse de programas de computador (que possam fazer essa conta), ou mesmo que saiba um pouco de teoria dos números pudesse me ajudar com a minha dúvida.
Desde já, agradeço!

Repare que uma vez que a série é divergente ( e que a sucessão das somas parciais tende para infinito) é sempre possível encontar um primo tal que a soma dos inversos de todos os primos até aí seja tão grande quanto quisermos. Se quisermos que a soma seja superior a 2.5 basta considerar os primeiros 1413 números primos.

Esta série, sendo divergente, diverge muito lentamente... Se somar os inversos dos primeiros 140000 primos obtem apenas um valor de 2.93167.

Sobolev, muito obrigado pela sua resposta. Esse resultado me ajudará a provar a solução de um problema que achei muito difícil. E, por curiosidade, também gostaria de saber qual programa usou para obtê-lo.
Grato!

Utilizei o Mathematica da Wolfram. O código segue abaixo:

Exemplo[soma_] := Module[{s,n},
s = 0;
n = 1;
While[s < soma,
s = s + 1/Prime[n];
n++];
Print["p=", n - 1];
]

No caso que colocou bastara executar o comando

Exemplo[2.5]