Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

M 2x2 -> M2x2

T(B)=B^T


COnsidere a base C \(C=\begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 0\\ 0 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0\end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 0\\ 1 & 0 \end{bmatrix}\)

qual A MATRIZ M (T;C;C) que representa T nesta Base?

Para encontrar a matriz pedida, basta determinar a ação da transformação linear sobre cada matriz da base. Por exemplo, \(c_1=\begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 0 \end{bmatrix}\) é o primeiro elemento da base. Então, \(T(c_1)=\begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 0 \end{bmatrix}=1.c_1+0.c_2+0.c_3+0.c_4\). Esta será a primeira coluna da matriz solicitada. Repetindo este processo com os demais elementos da base, obteremos as demais colunas e construiremos a matriz \([T]=\begin{bmatrix} 1 &0 & 2 &0 \\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -1 &0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{bmatrix}\). Abraço!

boa noite, será possível explicar um pouco mais.....?

é que ainda tenho umas duvidas....

Sem problemas. Vou tentar ilustrar utilizando um exemplo mais simples. Imagine a transformação linear \(A:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R}^2\) definida por \(B(x,y)=(-y,x)\). Ou seja, esta transformação pega um vetor qualquer e faZ nele uma rotação de 90º no sentido anti-horário ( faça um teste para se convencer disto). Como fazemos para determinar a matriz desta transformação na base canônica? Primeiro aplicamos a transformação no vetor \(e_1=(1,0)\), assim: \(B(1,0)=(0,1)=0.e_1+1.e_2\), o que nos dá a primeira coluna da matriz (consegues visualizar por que?). Depois aplicamos a transformação no vetor \(e_2=(0,1)\): \(B(0,1)=(-1,0)=-1.e_1+0.e_2\), que dá a segunda coluna. Então a matriz procurada é \([B]=\begin{bmatrix} 0 & -1\\ 1 & 0\end{bmatrix}\). Se quiséssemos obter a matriz desta transformação em outra base qualquer do \(\mathbb{R}^2\) bastaria aplicar a transformação em cada componente da nova base. No problema proposto, procedemos exatamente deste modo. Ainda restou dúvida?

Obrigado pela pronta resposta.... NO exercício refere B=B^T

Eu entendi que a transformação seria para a transposta mas a solução apresentada por si será o mesmo que:
\(\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 2\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{bmatrix}\)


???

peço desculpa por insistir nesta questão mas será que podemos ter esta troca de linhas e colunas???

Possivelmente você deve ter trocado a ordem dos elementos da base. Trocando a ordem, troca-se também a posição dos elementos da matriz.