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Determine os autovalores e autovetores da matriz inversa de A.

\(e^{i\pi}+1=0\begin{bmatrix} 3 & 0 & -4\\ 0 & 3 & 5\\ 0 & 0 & -1 \end{bmatrix}\)

Apesar de neste caso ser muito fácil calcular a inversa e calcular directamente os seus valores e vectores próprios, não é realmente necessário. Repare que se \(A\) for invertível (0 não é valor próprio) então

\(A v = \lambda v \Leftrightarrow A^{-1} (A v) = A^{-1} (\lambda v) \Leftrightarrow v = \lambda A^{-1} v \Leftrightarrow A^{-1} v =\frac{1}{\lambda} v\)

Isto significa que os vectores próprios da inversa são exactamente os mesmo que os da matriz A, e os valores próprios da inversa são os inversos dos v.p. de A.