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| Complemento ortogonal (espaços com produto interno) https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=13&t=6225 |
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| Autor: | C3loo [ 04 jun 2014, 21:44 ] |
| Título da Pergunta: | Complemento ortogonal (espaços com produto interno) |
Seja W um subespaço de V. Como posso mostrar que W \(W\subset (W^\perp)^\perp\), e que \(w=(W^\perp)^\perp\) quando V tem dimensão finita. Desde já agradeço! |
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| Autor: | Rui Carpentier [ 05 jun 2014, 19:46 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Complemento ortogonal (espaços com produto interno) [resolvida] |
Se \(w\) é um elemento de \(W\) então é ortogonal a todos os elementos de \(W^\perp\) porque qualquer elemento de \(W\perp\) é ortogonal a todos os elementos de \(W\) (em particular \(w\)). Logo \(W\subset (W^\perp)^\perp\). Além disso, o espaço \(W^\perp\) é complementar de \(W\) em \(V\), i.e. \(V=W+W^\perp\) (isto é verdade se o espaço W for de dimensão finita)* e \(W\cap W^\perp =\{0\}\). Assim se \(\dim V=n\) (finito) e \(\dim W=k\) temos que \(\dim W^\perp =n-k\) e \(\dim (W^\perp)^\perp =n-(n-k)=k\). As condições \(W\subset (W^\perp)^\perp\) e \(\dim W=\dim (W^\perp)^\perp\) (finita) implicam que \(W=(W^\perp)^\perp\). * editado postriormente para incluir o texto entre parêntesis. |
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