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| Soma direta de espaços vetoriais https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=13&t=7339 |
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| Autor: | Nickzim [ 11 nov 2014, 01:20 ] |
| Título da Pergunta: | Soma direta de espaços vetoriais |
Bom, estou em uma situação de complicada, faço engenharia e o cara anda utilizando bibliografia que não se encontra na ementa, e além do fato de não explicar a matéria direito o cara cobra exercícios bem complicados, então quem me ajudar com esse exercício vai me ajudar muito hahaha. Bom, vamos lá: Seja W um espaço de F8, onde F é um corpo com 2 elementos apenas. Considere o conjunto U = {(u1, . . . , u8) ∈ F8; u1w1 + ⋯u8w8 = 0 para todo (w1, . . . , wn) ∈ W}. (a) Mostre que U é um subspaço vetorial de F8. (b) E verdade que F8 = U ⊕ W? (c) Quantos pares de subespaços (W, U) com U,W ⊆ F8 existem satisfazendo U = W? |
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| Autor: | Rui Carpentier [ 13 nov 2014, 23:54 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Soma direta de espaços vetoriais |
a) Esta questão é bastante fácil, tudo o que há a fazer para verificar que um conjunto é um subespaço é mostrar que é fechado para a soma e para a multiplicação por escalares (no caso do corpo com 2 elementos basta apenas o fecho para a soma pois o fecho por multiplicação por escalares resulta do fecho para a soma). Exercício. b) Dois espaços vetoriais são isomorfos se e só se ambos têm a mesma dimensão. Portanto a questão é \(\dim (U\oplus W)=\dim (\mathbb{F}^8)=8\)? Ora \(\dim (U\oplus W)=\dim (U)+\dim (W)\). Se considerarmos uma matriz M cujas linhas formam uma base de W temos que o espaço de linhas de M é W e o espaço nulo é U. Assim sendo, dim(W)=car(M) (característica ou rank* da matriz) e dim(U)=nul(M) (nulidade* da matriz). Da identidade car(M)+nul(M)=nº de colunas de M resulta a resposta pela afirmativa da questão. * não sei qual a nomenclatura usada na Brasil c) Esta é a questão mais difícil. Pela alínea b) sabemos que tais subespaços terão de ter dimensão 4. Não é difícil mostrar que se um subespaço W é gerado por quatro vetores cada um com duas entradas 1 e as restantes 0 de modo que os conjuntos das coordenadas 1 dos vetores formam uma partição de {1,2,3,4,5,6,7,8}, por exemplo {(1,1,0,0,0,0,0,0),(0,0,1,1,0,0,0,0),(0,0,0,0,1,1,0,0),(0,0,0,0,0,0,1,1)} ou {(1,0,0,0,1,0,0,0),(0,1,0,0,0,1,0,0),(0,0,1,1,0,0,0,0),(0,0,0,0,0,0,1,1)}, então esse espaço satisfaz W=U. Portanto há pelo menos \(\frac{1}{4!}{8\choose 2,2,2,2}=105\) espaços desse tipo. Mas há mais além desses (por exemplo o espaço gerado por {(1,1,1,1,0,0,0,0),(0,0,1,1,1,1,0,0),(1,0,0,1,1,0,0,1),(0,0,0,0,1,1,1,1)}). Quantos ao certo neste momento não sei. |
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