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DÚVIDAS? Nós respondemos!

Sejam U e W dois planos de \(\mathbb{R}^{3}\) que passam pela origem. Explique geometricamente porque \(U\cap W\) é subespaço de \(\mathbb{R}^{3}\).

Um plano que passa na origem é um subespaço vectorial de \(\mathbb{R}^3\), já que é fechado para as operações de soma de vectores e multiplicação por escalares.

Também é em geral verdade que a intersecção de subespaços é ainda um subespaço. Vendo por exemplo a questão do fecho para a soma de vectores, se tomar \(x,y \in U\cap W\), como U e W são subespaços, x + y pertence tanto a U como a W e portanto também à sua intersecção.

A resposta à sua pergunta decorre destas duas observações. Como qualquer dos planos é um subespaço, o mesmo acontece com a sua intersecção.