Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

Olá! É meu primeiro post no fórum, então me desculpem caso quebre alguma regra com a postagem.
É um problema de uma lista de estudo. Gostaria de qualquer ajuda possível, por menor que seja. Segue o problema:

Sejam F um corpo e h um polinômio de grau maior ou igual a um. Mostre que a aplicação T de F[x] em F[x], tal que T(f)=f(h) é uma transformação linear injetora. Mostre também que T é isomorfismo se, e somente se, gr(h)=1.

Não entendi a notação mais importante do problema: T(f)=f(h). Assim, fica difícil começar...Hahaha. Também não sei como provar que a transformação é injetora. Enfim, qualquer ajuda, ou luz sobre o problema será muito bem vinda!

Obrigado.

Sobre a notação, não seria T: F = F(h) ? Pois o "f" minusculo não foi mencionado antes.
E quanto a " Mostre que a aplicação T de F[x] em F[x], tal que T(f)=f(h) é uma transformação linear injetora. Mostre também que T é isomorfismo se, e somente se, gr(h)=1."

Esta sendo descrita uma aplicação linear T: F[x] -> F[x] tal que T: F = F(h) é injetora.

T é injetora quando leva conjuntos LI's em conjuntos LI's.
Você pode provar que é injetora provando que Ker{T} = {0} (kernel de T= {0} ) já assumindo desde o começo, por hipótese, que T é injetora.
Como é F[x] -> F[x] creio que dim F = dim F a não ser que os F's sejam diferentes e nao foi dito, se ambas tem mesma dimensão, o Ker{T} = 0 e é injetora.

Sobre o isomorfismo, significa que a TL(Transformação Linear) é injetora e sobrejetora ao mesmo tempo.

Para ser sobrejetora A Im{T} = ao segundo F[x] da aplicação T: F[x] -> F[x], como no caso é F[x] -> F[x] creio que ambos tenham a mesma dimensão, dim F = dim F, pelo teorema
dim F = dim Ker{T} + dim Im{T} --> a dim F = dim Im{T} entao --> dim Ker{T} = dim F - dim Im{T} --> dim Ker{T} = 0 --> Ker{T} = {0f}(0 no subespaço F) e T é injetora e sobrejetora.

A parte do gr(h)=1 eu não entendi.

Peço que me corrijam se houverem erros, também tenho várias dúvidas sobre a matéria, até porque estive doente e não compareci às minhas aulas.