Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

Seja \(T:V\rightarrow V\)linear e \(A=M(T,B_{1},B_{2})\). Verifique que as seguintes são equivalentes:
a)A é invertível b)R(A)=dim(V)

Olá fff! A notação deixou-me algo confuso, mas se o problema é o que estou pensando que seja, acho que pode-se argumentar assim: Se A é uma matriz nXn invertível, então a transposta de A também o é. Neste caso, as colunas de \(A^{T}\) formam uma base de V, mas as colunas de \(A^{T}\) são as linhas de A, logo as linhas de A formam uma base de V, ou seja, R(A)=dim V. Reciprocamente, se R(A)=dim V, então as linhas de A formam uma base de V, e como A é uma matriz nXn, então as colunas de \(A^{T}\) formam uma base de V, o que significa dizer que \(A^{T}\)é invertível. Mas se \(A^T\) é invertível, a sua transposta também o é, mas a transposta de \(A^{T}\) é A. Logo, A é invertível.