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| Trasformações Lineares, sobre Autovetor e Autoadjunta https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=13&t=7715 |
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| Autor: | Claudio Paraná [ 03 jan 2015, 20:04 ] |
| Título da Pergunta: | Trasformações Lineares, sobre Autovetor e Autoadjunta |
1. Seja \(T:V \rightarrow V\) uma transformação linear. Mostre que se todo vetor de V for autovetor de T, então existe um \(\lambda \in \mathbb{R}\) tal que T(v) = \(\lambda \cdot v\), \(\forall v \in V\). 2. Seja V um espaço vetorial sobre \(\mathbb{R}\) de dimensão finita e com produto interno. Seja \(T \in L(V,V)\) uma transformação linear autoadjunta, mostre que: Se \(u \in \mathbf{Aut}{_{T}}(\lambda )\) e \(v \in \mathbf{Aut}{_{T}}(\eta )\) com \(\lambda \neq \eta\), então \(u \perp v\) |
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| Autor: | Rui Carpentier [ 04 jan 2015, 16:05 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Trasformações Lineares, sobre Autovetor e Autoadjunta |
Olá, Em relação ao primeiro, basta mostrar que os autovalores associados a cada elemento de uma base de V, \(\mathcal{B}=\{u_i\}_{i\in I}\), coincidem entre si. Isto porque se tivermos um conjunto de autovetores associados ao mesmo autovalor então qualquer combinação linear desses autovetores é um autovetor com o mesmo autovalor (exercício). Mostremos então que quaisquer dois elementos da base, \(u ,v \in\mathcal{B}\), têm o mesmo autovalor. Sejam \(\alpha\) e \(\beta\) os autovalores de \(u\) e \(v\). Como todos os vetores de V são autovetores, existe \(\lambda \in \mathbb{R}\) tal que \(T(u+v)=\lambda (u+v)\) (i.e. \(\lambda\) é autovalor de \(u+v\)). Temos então a seguinte sequência de igualdades: \(\lambda (u+v)=T(u+v)=Tu+Tv=\alpha u+\beta v\) donde resulta, por u e v serem linearmente independentes, que \(\alpha=\lambda=\beta\). Em relação ao segundo exercício, por definição T é autoadjunta se \(\langle Tu,v\rangle=\langle u,Tv\rangle\). Como \(\langle Tu,v\rangle=\langle \lambda u,v\rangle =\lambda \langle u,v\rangle\) e \(\langle u,Tv\rangle=\langle u, \eta v\rangle =\eta \langle u,v\rangle\), temos que \(\lambda \langle u,v\rangle=\eta \langle u,v\rangle\). Daqui sai que se \(\lambda\not=\eta\) então \(\langle u,v\rangle=0\). |
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