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Encontrar o núcleo, a imagem, suas dimensões e uma base para a TL.
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Autor:  Luigi [ 03 fev 2015, 05:01 ]
Título da Pergunta:  Encontrar o núcleo, a imagem, suas dimensões e uma base para a TL.  [resolvida]
2. Encontre o núcleo, a imagem, suas dimensões e uma base para a seguinte transformação linear \(T: \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^2, T(x,y,z)=(x-y+4z, 3x+y+8z)\)
Autor:  Baltuilhe [ 03 fev 2015, 15:01 ]
Título da Pergunta:  Re: Encontrar o núcleo, a imagem, suas dimensões e uma base para a TL.
Bom dia!

\(T: \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^2, T(x,y,z)=(x-y+4z, 3x+y+8z)\)

Núcleo:
\(T(x,y,z)=(0,0)
(x-y+4z, 3x+y+8z)=(0,0)
\left {{x-y+4z=0
3x+y+8z=0}\)

Isolando o x da primeira equação e substituindo na segunda:
\(x=y-4z
3(y-4z)+y+8z=0
3y-12z+y+8z=0
4y=4z
y=z\)

Voltando para a primeira equação o valor de y:
\(x=z-4z
x=-3z\)

Então, para o Núcleo, temos:
\(T(x,y,z)=(0,0)
(x,y,z)=(-3z,z,z)=z(-3,1,1)
Ker(T)= \left { (-3z,z,z) | z \in \mathbb{R} \right }\)

Imagem:
\(T(x,y,z)=(x-y+4z, 3x+y+8z)
(x-y+4z, 3x+y+8z)=x(1,3)+y(-1,1)+z(4,8)\)

Como (4,8) é combinação linear de (1,3) e (-1,1), assim:
\((4,8)=3(1,3)-1(-1,1)\)

Então, (1,3) e (-1,1) formam uma base para a imagem. Portanto, um gerador para a Imagem é a base:
\(Im(T)=[(1,3),(-1,1)]\)

Então, para a imagem:
\(Im(T)= \left { a(1,3)+b(-1,1) | a, b \in \mathbb{R} \right }\)

Com relação às dimensões:
\(Dim(Ker(T))=1
Dim(Im(T))=2
Dim(\mathbb{R}^3)=3\)

Pelo teorema do Núcleo e Imagem, teremos que ter:
\(Dim(Ker(T))+Dim(Im(T))=Dim(\mathbb{R}^3)\)

Para deixar mais completa a resposta, segue abaixo a matriz de transformação linear de base canônica \(\mathbb{R}^3\) para \(\mathbb{R}^2\)

\(T(x,y,z) = \begin{pmatrix}
1 & -1 & 4\\
3 & 1 & 8
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
x\\
y\\
z
\end{pmatrix}\)

Espero ter ajudado!
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