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Conjunto LI ou LD - Álgebra Linear
https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=13&t=8263		 Página 1 de 1
Autor:  Estudioso [ 20 mar 2015, 04:31 ]
Título da Pergunta:  Conjunto LI ou LD - Álgebra Linear
Verifique se \(A=\left \{ (1,1,1)\,,\,(2,-1,1)\,,\,(4,-1,10) \right \}\) e \(B=\left \{ (3,2)\,,(9,6) \right \}\) constituem um conjunto \(LI\) ou \(LD\). Justifique sua resposta.
Autor:  enriquerene [ 20 mar 2015, 14:38 ]
Título da Pergunta:  Re: Conjunto LI ou LD - Álgebra Linear
Por definição um conjunto X é LI se satisfaz:
a1x1+a2x2+...+anxn = 0 \rightarrow ai=0 \forall ai \in \mathbb{R}

O conjunto é LD quando nega a proposição acima.

Para o conjunto A: (para não confundir por mudança de notação, chamarei de x os vetores em A e de a os coeficientes reais)

a1x1+a2x2+a3x3 = 0
Temos
x1 = (1,1,1)
x2 = (2,-1,1)
x3 = (4,-1,10)
Então

a1(1,1,1)+a2(2,-1,1)+a3(4,-1,10) = 0
(a1+2a2-4a3 ,a1-a2-a3 ,a1+a2+10a3 ) = (0,0,0)

Daí temos um sistema:

a1+2a2-4a3 = 0
a1-a2-a3 = 0
a1+a2+10a3 = 0

Usando o método que preferir para resolver o sistema você chega ao resultado que a1=a2=a3=0, logo o conjunto é LI.

Para o conjunto B fica mais fácil até porque teremos menos equações no sitema:
x1 = (3,2)
x2 = (9,6)

a1x1+a2x2 = 0
a1(3,2)+a2(9,6) = (0,0)

temos o seguinte sistema:

3a1+9a2 = 0
2a1+6a2 = 0

Esse sistema não tem solução única pois fazendo o determinante da matriz \begin{bmatrix}3 & 9 \\ 2 & 6\end{bmatrix} obtemos o valor 0.

Então é possível ter a1 e a2 diferentes de zero que a combinação linear resulte no vetor nulo, então é um conjunto LD.
Autor:  Estudioso [ 20 mar 2015, 17:17 ]
Título da Pergunta:  Re: Conjunto LI ou LD - Álgebra Linear
Obrigado ;)
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