Todas as dúvidas que tiver sobre transformações lineares, transformações inversas, espaços lineares, subespaços lineares e bases e mudanças de base, valores e vectores próprios
01 mai 2015, 12:40
Quais os geradores do núcleo e da imagem da transformação linear \(T(x,y,z)=(x-2y,\,x+2y+z,\,x-2y)\)?
02 mai 2015, 14:45
Bom dia Estudioso,
O núcleo K, se não me falha a memória, é o conjunto de vetores obtido igualando a T ao vetor nulo:
\((x-2y, x+2y+z, x-2y)=(0,0,0) \\
x-2y=0 \Leftrightarrow x=2y; \\
x+2y+z=0\Leftrightarrow z=-4y; \\\)
Então \(K(T)=\left{ v \in V; T(v} = \vec{0} \right} \Leftrightarrow K(T) = \left{(2y, y, -4y) \right}\)
E a imagem I, é conjunto de vetores obtidos pela aplicação de T a algum vetor, vou usar um genérico(x,y,z), do espaço vetorial, algo assim:
\(w \in I(T) \rightarrow w = T((x,y,z))\) então
\(w=(x-2y, x+2y+z, x-2y) \\
w=x(1,1,1)+y(-2,2,-2)+z(0, -1, 0)\)
Então os vetores \(v_1 = (1,1,1); v_2=(-2,2,-2); v_3(0, -1, 0)\) de \(V\) geram \(w \in T\)
Não sei até onde você precisa ir com esse exercício, mas olhe que os vetores \(v_1;v_2;v_3\) são \(LD\) então talvez seja necessário algum trabalho adicional...