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 Título da Pergunta: Vetores
MensagemEnviado: 27 set 2012, 02:34 
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Calcule volume do tetraedro pelos vetores u=(1,-1,0), v=(2,0,2) e w=(1,-3,3)


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 Título da Pergunta: Re: Vetores
MensagemEnviado: 27 set 2012, 18:45 
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Estou a supor que o quarto vértice do tetraedro fica na origem. Considere-se o paralelepípedo gerado pelos vetores \(u\), \(v\) e \(w\). Escolhendo uma face como sendo a base temos que a altura deste paralelepípedo coincide com a altura do tetraedro e a base do tetraedro é metade da base do paralelepípedo. Sabendo que o volume do paralelepípedo é dado pela altura vezes a área da sua base e que o volume do tetraedro é dado por um terço da altura vezes a área da sua base deduzimos que volume do tetraedro é um sexto do volume do paralelepípedo.
O volume de um paralelepípedo é dado pelo módulo do determinante dos três vetores que o geram. Assim sendo temos que o volume do tetraedro é dado por

volume \(=\frac{1}{6}\left| \det \begin{bmatrix}
1 & -1 & 0 \\
2 & 0 & 2 \\
1 & -3 & 3
\end{bmatrix} \right|=\frac{5}{3}\)


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