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| Autor: | pastorpj [ 27 set 2012, 02:34 ] |
| Título da Pergunta: | Vetores |
Calcule volume do tetraedro pelos vetores u=(1,-1,0), v=(2,0,2) e w=(1,-3,3) |
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| Autor: | Rui Carpentier [ 27 set 2012, 18:45 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Vetores |
Estou a supor que o quarto vértice do tetraedro fica na origem. Considere-se o paralelepípedo gerado pelos vetores \(u\), \(v\) e \(w\). Escolhendo uma face como sendo a base temos que a altura deste paralelepípedo coincide com a altura do tetraedro e a base do tetraedro é metade da base do paralelepípedo. Sabendo que o volume do paralelepípedo é dado pela altura vezes a área da sua base e que o volume do tetraedro é dado por um terço da altura vezes a área da sua base deduzimos que volume do tetraedro é um sexto do volume do paralelepípedo. O volume de um paralelepípedo é dado pelo módulo do determinante dos três vetores que o geram. Assim sendo temos que o volume do tetraedro é dado por volume \(=\frac{1}{6}\left| \det \begin{bmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 2 & 0 & 2 \\ 1 & -3 & 3 \end{bmatrix} \right|=\frac{5}{3}\) |
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