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Alguém me explica como resolve?

Considere a transformação linear \(T\,(x,\,y,\,z)\,=\, (x\,-\,2y,\,x\,+\,2y\,+\,z,\,x\,-\,2y)\). Encontre os geradores do núcleo e da imagem.

Agradecido

Vejamos relativamente ao núcleo:

\(\mathcal{N}(T) =\{(x,y,z)\in \mathbb{R}^3: T(x,y,z)=(0,0,0)\}\)

\(T(x,y,z)=(0,0,0) \Leftrightarrow
x-2y =0, \quad x +2y+z=0, \quad x-2y = 0 \Leftrightarrow
x = 2y, \quad z = -4y\)

Assim, os elementos do núcleo são da forma \((2y, y, -4y), \quad y \in \mathbb{R}\), ou seja, são múltiplos do vector (2,1,-4). Esse vetor é então o gerador do núcleo.


Relativamente à imagem, pode ver que a primeira e terceira componentes são iguais e, escolhidos x e y, a segunda componente pode ainda assim tomar qualquer valor real (escolhendo adequadamente o valor de z). Assim, os vetores imagem são da forma

\((s,t, s) = s(1,0,1) + t(0,1,0), \quad s,t \in \mathbb{R}\)

pelo que os vetores (1,0,1) e (0,1,0) geram o espaço imagem.