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Prove que a comutatividade da adição, na definição de espaço vetorial, é uma conseqüência das demais condições.

1) Comece por provar que para qualquer vetor \(\vec{v}\) tem-se \((-1)\vec{v}=-\vec{v}\) (i.e. o produto escalar de \(\vec{v}\) com -1 é vetor simétrico de \(\vec{v}\)).
2) Com isto, mais a propriedade distribuitiva, mostre que \(-(\vec{v}+\vec{u})=(-\vec{v})+(-\vec{u})\) (i.e. o simétrico de da soma é a soma dos simétricos pela mesma ordem).
Agora já é possível demonstrar a comutatividade de soma uma vez que o simétrico de uma soma associativa é a soma dos simétricos na ordem inversa:

\(\vec{u}+\vec{v}=[(\vec{v}+\vec{u})-(\vec{v}+\vec{u})]+\vec{u}+\vec{v} =\vec{v}+\vec{u}+(-\vec{v})+(-\vec{u})+\vec{u}+\vec{v} =\vec{v}+\vec{u}+[(-\vec{v})+((-\vec{u})+\vec{u})+\vec{v}]=\vec{v}+\vec{u}\)