Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

questao de transformaçao linear nao estou conseguindo fazer

Boa tarde!

Vamos escrever os dois 'pontos' nos dois sistemas e encontrar a relação entre eles:

No sistema original:
\(\left{x=r\cos{\left(\alpha\right)}\\
y=r\sin{\left(\alpha\right)}\)

No novo sistema:
\(\left{x_0=r\cos{\left(\alpha+\theta\right)}=r\cdot\left[\cos{\left(\alpha\right)}\cos{\left(\theta\right)}-\sin{\left(\alpha\right)}\sin{\left(\theta\right)}\right]\\
y_0=r\sin{\left(\alpha+\theta\right)}=r\cdot\left[\sin{\left(\alpha\right)}\cos{\left(\theta\right)}+\sin{\left(\theta\right)}\cos{\left(\alpha\right)}\right]\)

Fazendo a distributiva:
\(\left{x_0=r\cdot\cos{\left(\alpha\right)}\cos{\left(\theta\right)}-r\cdot\sin{\left(\alpha\right)}\sin{\left(\theta\right)}=x\cos{\left(\theta\right)}-y\sin{\left(\theta\right)}\\
y_0=r\cdot\sin{\left(\alpha\right)\cos{\left(\theta\right)+r\cdot\sin{\left(\theta\right)\cos{\left(\alpha\right)}=y\cos{\left(\theta\right)}+x\sin{\left(\theta\right)}\)

Ficou assim, então:
\(\left{x_0=x\cos{\left(\theta\right)}-y\sin{\left(\theta\right)}\\
y_0=x\sin{\left(\theta\right)}+y\cos{\left(\theta\right)}\)

\(\begin{bmatrix}
x_0\\
y_0
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
\cos{\left(\theta\right)} & -\sin{\left(\theta\right)}\\
\sin{\left(\theta\right)} & \cos{\left(\theta\right)}
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
x\\
y
\end{bmatrix}\)

Espero ter ajudado!

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Baltuilhe
"Nós somos o que fazemos repetidamente. Excelência, então, não é um modo de agir, é um hábito." Aristóteles