determinar um vetor x paralelo ao vetor w

[joca]

dados os vetores \(\vec u = (1, -1, 0)\), \(\vec v=(0,0,2)\), \(\vec w =(2,-3,0)\), pede-se determinar um \(\vec x\) paralelo a \(\vec w\) que satisfaça a condição \(\vec x \wedge \vec u = \vec v\).

[jorgeluis]

condição dos vetores paralelos \(\underset{x}{\rightarrow}//\underset{w}{\rightarrow}\):

\(\underset{x}{\rightarrow} = \alpha.\underset{w}{\rightarrow}\) (proporcionalidade)

\(\theta = 0, \underset{x}{\rightarrow}*\underset{w}{\rightarrow} = 0\)

se,
\(\underset{w}{\rightarrow} = (2,-3,0)\)
então,
\(\underset{x}{\rightarrow} = \alpha.(2,-3,0)\)

\(\underset{x}{\rightarrow}*\underset{w}{\rightarrow} = (2\alpha.2)+(-3\alpha.-3)+(0\alpha.0) = 0\)
\(\alpha = 0,\)
logo,
\(\underset{x}{\rightarrow} = (0,0,0)\)

se
\(\underset{x}{\rightarrow}\Lambda \underset{u}{\rightarrow}=\underset{v}{\rightarrow}\)
como \(|\underset{v}{\rightarrow}| \neq 0\) então os vetores são ortogonais

\(|\underset{v}{\rightarrow}| = \sqrt{0^2+0^2+2^2} = 2\)

\(\underset{u}{\rightarrow}=(1,-1,0)
\underset{v}{\rightarrow}=(0,0,2)\)

condição dos vetores ortogonais \(\underset{x}{\rightarrow}\Lambda \underset{u}{\rightarrow}\):

\(\theta = 90^o, \underset{x}{\rightarrow}*\underset{u}{\rightarrow} = x.u\)

\(|\underset{x}{\rightarrow}*\underset{u}{\rightarrow}| = |\underset{x}{\rightarrow}|.|\underset{u}{\rightarrow}|.sen \theta\)

\(|\underset{x}{\rightarrow}*\underset{u}{\rightarrow}| = \sqrt{0^2+0^2+0^2}.\sqrt{1^2+(-1)^2+0^2}.sen \theta\)

\(|\underset{x}{\rightarrow}*\underset{u}{\rightarrow}| = 0\)

pessoal, não estou conseguindo satisfazer a condição:

\(\underset{x}{\rightarrow}\Lambda \underset{u}{\rightarrow}=\underset{v}{\rightarrow}\)

[Baltuilhe]

Boa tarde!

Como o vetor \(\vec{x}\) é paralelo ao \(\vec{w}\), então:
\(\vec{x}=\alpha\vec{w}\)

Então:
\(\vec{x}\times\vec{u}=\vec{v}
\alpha\vec{w}\times\vec{u}=\vec{v}
\alpha(2,-3,0)\times(1,-1,0)=(0,0,2)
\alpha(0,0,-2+3)=(0,0,2)
\alpha(0,0,1)=(0,0,2)
(0,0,\alpha)=(0,0,2)
\alpha=2\)

Obs.: Para ajudar na conta do produto vetorial:
\((2,-3,0)\times(1,-1,0)=\left|\begin{array}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\
2 & -3 & 0\\
1 & -1 & 0
\end{array}\right|=(-3\cdot 0-(-1)\cdot 0)\vec{i}-(2\cdot 0-1\cdot 0)\vec{j}+(2\cdot(-1)-1\cdot(-3))\vec{k}=\vec{k}=(0,0,1)\)

Espero ter ajudado!

[jorgeluis]

mais uma vez, obrigado Baltuilhe!!!