encontrar a equação da elipse

[PRADO]

Determinar a equação da elipse de centro (4,-1), foco em (1,-1) e que passa por (8,0).
Creio que seja até um exercício simples mas estou com dificuldade, não sei como vou fazer para encontrar os valores de a e b .

[Baltuilhe]

Boa noite!

A distância do centro ao foco é c:
c=4-1=3

Tendo um dos focos F1(1,-1) e sabendo-se onde está o centro da elipse podemos encontrar o outro foco.
F1(1,-1), C(4,-1), F2(7,-1)

Veja que o outro foco também tem 3 de distância do centro.
Como temos um ponto dado da elipse, que chamarei de A(8,0) podemos utilizar a definição:
F1A+F2A=2a, onde a é o tamanho do eixo maior da elipse.
Portanto:
\(\sqrt{7^2+1^2}+\sqrt{1^2+1^2}=2a\\\sqrt{50}+\sqrt{2}=2a\\2a=5\sqrt{2}+\sqrt{2}=6\sqrt{2}\\a=3\sqrt{2}\)

Agora que temos o valor do semi-eixo maior, podemos encontrar o semi-eixo menor:
\(a^2=b^2+c^2\\(3\sqrt{2})^2=b^2+3^2\\b=3\)

Só montar a equação da elipse:
\(\frac{(x-4)^2}{(3\sqrt{2})^2}+\frac{(y+1)^2}{3^2}=1\\\frac{(x-4)^2}{18}+\frac{(y+1)^2}{9}=1\)

Espero ter ajudado!

[PRADO]

Muito obrigada