Ponto C sobre uma reta

[felipegserrano]

Considere Q = (0, −1) e P o ponto situado no primeiro quadrante, que dista 2 do eixo OY e 1 do eixo OX.
Dados os pontos A = (0, 3) e B = (6, 3), determine, os possíveis pontos C sobre a reta PQ tal que a área do paralelogramo de lados não paralelos AB e AC seja 2 √ 2.

[Sobolev]

Considerando \(C=(c_1, c_2)\), e tendo em conta que está sobre uma recta de equação y=x-1, podemos dizer que \(C = (c_1, c_1 -1)\). A área do trapézio mencionado é dada pelo produto do comprimento do lado AB pela distancia vertical entre A e C. Assim, a área é \(A = 6 \times |3 - (c_1-1)| = 6|4-c_1|\). Ora

\(A= 2 \sqrt{2}c\Leftrightarrow 6|4-c_1|= 2 \sqrt{2} \Leftrightarrow |c_1-4| = \frac{\sqrt{2}}{3} \Leftrightarrow c_1 = 4 \pm \frac{\sqrt{2}}{3}\).

Existem então duas possibilidades:

\(C = (4- \sqrt{2}/3, 3- \sqrt{2}/3) \quad \vee \quad C = (4+ \sqrt{2}/3, 3+ \sqrt{2}/3)\)