Vetor e área do paralelogramo de vértices em quadrilátero
20 dez 2016, 13:14
Calcule a área do paralelogramo cujos vértices são pontos médios dos lados do quadrilátero ABCD, sendo A(0,1), B(-4,-1), C(5,-3) e D(7,0).
Essa questão é parte do conteúdo de produto escalar e projeção ortogonal de um vetor sobre outro. Peço, por favor, que não use assuntos superiores a esses pra responder. Muito obrigado.
Essa questão é parte do conteúdo de produto escalar e projeção ortogonal de um vetor sobre outro. Peço, por favor, que não use assuntos superiores a esses pra responder. Muito obrigado.
Re: Vetor e área do paralelogramo de vértices em quadrilátero
28 dez 2016, 19:33
Boa tarde,
Vou esboçar os passos da solução e você tenta os cálculos. Anexei uma figura ilustrativa com a indicação dos pontos originais, dos pontos médios e dos vetores que podem ser usados para o cálculo da área.
A área do paralelogramo será dada pelo produto do módulo do vetor \(\vec{u}\) pela altura \(h\). Isto é:
\(A = |\vec{u}|h\) e sabemos, da Trigonometria, que \(h = |\vec{v}|sen(\alpha)\). Logo \(A = |\vec{u}|.|\vec{v}|sen(\alpha)\)
O seno do ângulo pode ser obtido por \(sen(\alpha) = \sqrt{1-cos^2(\alpha)}=\sqrt{1- \left( \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}|.|\vec{v}|} \right)^2 }\) cujo numerador da fração debaixo da raiz é o produto escalar dos vetores \(\vec{u}\) e \(\vec{v}\).
Assim a área será dada por: \(A = |\vec{u}|.|\vec{v}|\sqrt{1- \left( \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}|.|\vec{v}|} \right)^2 }\)
Agora é apenas uma questão de fazer as contas.
Vou esboçar os passos da solução e você tenta os cálculos. Anexei uma figura ilustrativa com a indicação dos pontos originais, dos pontos médios e dos vetores que podem ser usados para o cálculo da área.
A área do paralelogramo será dada pelo produto do módulo do vetor \(\vec{u}\) pela altura \(h\). Isto é:
\(A = |\vec{u}|h\) e sabemos, da Trigonometria, que \(h = |\vec{v}|sen(\alpha)\). Logo \(A = |\vec{u}|.|\vec{v}|sen(\alpha)\)
O seno do ângulo pode ser obtido por \(sen(\alpha) = \sqrt{1-cos^2(\alpha)}=\sqrt{1- \left( \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}|.|\vec{v}|} \right)^2 }\) cujo numerador da fração debaixo da raiz é o produto escalar dos vetores \(\vec{u}\) e \(\vec{v}\).
Assim a área será dada por: \(A = |\vec{u}|.|\vec{v}|\sqrt{1- \left( \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}|.|\vec{v}|} \right)^2 }\)
Agora é apenas uma questão de fazer as contas.