Situação incomum envolvendo equação de retas e ponto de intersecção

[habakuk.conrado]

Sejam r e s duas retas cujas equações são Ax+By+C=0 e A₁x+B₁y+C₁=0

a) Mostre que, qualquer que seja \(\lambda\),
Ax+By+C +\(\lambda\)(A₁x+B₁y+C₁)=0 (I)
é a equação de uma reta que contém a intersecção de r e s.

b) Se A²+B²=A₁²+B₁², mostre que para \(\lambda\)=+-1, as retas dadas por (I) são bissetrizes dos ângulos entre r e s.

[Sobolev]

a) Realmente, se as duas rectas se intersectarem num ponto \((x_0,y_0)\), temos simultâneamente que

\(Ax_0 + B y_0 + C = 0 \qquad e \qquad A_1x_0 + B_ y_0 + C_1 = 0\)

por isso, realmente

\(Ax_0 + B y_0 + C + \lambda(A_1x_0 + B_1 y_0 + C_1) = 0 + \lambda \cdot 0 = {0}\)

Por outro lado

\(Ax + B y + C + \lambda(A_1x+ B_ 1y + C_1) = 0 \Leftrightarrow (A+\lambda A_1) x + (B+\lambda B_1) y + (C+\lambda C_1) = 0\)

define sem dúvida uma recta, sendo por isso uma recta que contém a intersecção das duas outras.