Exercício de vetores

[gustavochenini]

“Considere o triângulo ABC e sejam AC(vetor) = u(vetor), AB(vetor) = v(vetor) e w (vetor) = 2 u (vetor) – v (vetor). Qual é o valor de m real para que o ponto Z = A + m * w (vetor) pertença à reta BC ?”

[santhiago]

Tem gabarito ? calculei m = 1 . Talvez esteja errado .

[gustavochenini]

O gabarito apresenta m = 1/2

[Sobolev]

A resposta é de facto m=1. O "gabarito" está incorrecto.

Para confirmar que o "gabarito" não está certo, basta considerar um exemplo concreto: A=(0,0); B=(0,1); C=(1,0). Calcule tudo explicitamente e veja que não pode ser m=1/2 (dá m=1, que é o resultado correcto).

[gustavochenini]

Certo, de fato para este caso m = 1. E para o caso A = (0,2) , B = (1,3) e C = (3,1) ? Não encontrei m = 1. Pode me ajudar?

[Sobolev]

m=1 também funciona neste caso ... veja:

\(\vec{u} = \vec{AB} = B - A = (1,1)
\vec{v} = \vec{AC} = C - A = (3, -1)
\vec{w} = 2 \vec{u} -\vec{v} = (5 , -3)
A + m \vec{w} = (0,2) + m (5,-3) = (5m , 2-3m)\)

Ora, como a recta que contém \([BC]\) é a recta de equação \(y = 4 - x\), o ponto (5m, 2-3m) pertence a essa recta se e só se \(2-3m = 4-5m \Leftrightarrow m = 1\)

Não é dificil mostrar o caso geral ... Pense que qualquer ponto da recta que passa em B e C é da forma \(B + k \vec{BC}\), e que \(\vec{BC} = \vec{AC} - \vec{AB}\). Espero que seja suficiente para prosseguir.

[gustavochenini]

Muito obrigado amigo. Funcionou