Resolução de um problema

[Gustavo195]

Decomponha uî = (1,2,4) como soma de um vetor paralelo à reta r: X = (1,9,18) + λ(2,1,0) com outro paralelo ao plano
π:
x= 1 + λ
y = 1+ µ
z = λ - µ

Já tentei fazer de todas as formas que conheço mas não resultaram na resposta: uî = (11,7,4) + (-10,-5,0).

[João Torgal]

Vamos por partes

- para ser paralelo à recta, terá de ser da forma k(2,1,0).
- quanto ao plano interessa começar por encontrar um vector normal, ou seja, um vector \(\underset{u}{\rightarrow}\) = (u1,u2,u3)
tal que:
\(\underset{u}{\rightarrow}\). (1,0,1) = 0
\(\underset{u}{\rightarrow}\). (0,1,-1) = 0

Assim,

\(\left\{\begin{matrix} u1+u2=0\\u2-u3=0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} u1=-u2\\u3=u2 \end{matrix}\right.\)

Um exemplo é então, para u2 = 1, (-1,1,1)

Logo, para ser paralelo ao plano, terá de ser perpendicular a este vector, ou seja (x,y,z).(-1,1,1) = 0, ou seja -x+y+z= 0 e, portanto z=x-y, logo será um vector da forma (x,y,x-y).

- Finalmente, temos então a condição que é pretendida pelo problema, ou seja:

(1,2,4) = (x,y,x-y) + (2k,k,0), logo \(\left\{\begin{matrix} x+2k=1\\y+k=2 \\x-y=4 \end{matrix}\right.\)


Resolvendo este sistema, obtém-se k = -5, x = 11 e y = 7, pelo que vem a solução dada.

[Gustavo195]

Muito obrigado, você não sabe o quanto me ajudou com isso =D, tem prova amanhã e eu não iria conseguir fazer esse tipo de questão.