Geometria Analitica - Cônicas

[AiltonMedeiros]

1) Como demonstrar que a equação xy=1 é uma cônica?
2) Dê a equação da elipse e da circunferência que passa pelos pontos (2, 0), (-2, 0) e (0, 1).

[Man Utd]

1) Como demonstrar que a equação xy=1 é uma cônica?
2) Dê a equação da elipse e da circunferência que passa pelos pontos (2, 0), (-2, 0) e (0, 1).

a primeira lembre-se da rotação das cônicas:

\(x=x_{1}*cos\theta-y_{1}*sen\theta \\\\ y=x_{1}*sen\theta+y_{1}*cos\theta\)

então :

\(\\\\ xy-1=0 \\\\ (x_{1}*cos\theta-y_{1}sen\theta)*(x_{1}*sen\theta+y_{1}*cos\theta)-1=0\\\\\)
\(\\\\ x_{1}^{2}cos\theta*sen\theta-x_{1}y_{1}sen^{2}\theta+x_{1}y_{1}cos^{2}\theta-y_{1}^{2}cos\theta*sen\theta-1=0 \\\\ x_{1}^{2}\Theta *sen\Theta -y_{1}^{2}cos\Theta *sen\Theta -x_{1}y_{1}(sen^{2}\theta-cos^{2}\Theta )-1=0\)


veja que nosso objetivo até aqui é eliminar o termo cruzado x1y1,então façamos:

\(\\\\ sen^{2}\theta-cos^{2}\theta=0 \\\\ cos(2\theta)=0 \\\\ \Theta =\frac{\pi}{4} \vee 45^{^{\circ}}\)


daí:

\(\\\\ x_{1}^{2}cos45^{\circ}*sen45^{\circ}-y_{1}^{2}cos45^{\circ}*sen45^{\circ}-x_{1}y_{1}(sen^{2}45^{\circ}\theta-cos^{2}45^{\circ})-1=0 \\\\ \frac{2x_{1}^{2}}{4}-\frac{2y_{1}^{2}}{4}=1 \\\\ \frac{x_{1}^{2}}{2}-\frac{y_{1}^{2}}{2}=1\)

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