triângulo ABC

[ROSE]

olá,
gostaria que me ajudasse nessa questão:
dados os pontos A=(0,0) e B=(2,4), determine o ponto C tal que o triângulo ABC seja isósceles de vértice C e tenha área 2.No que puder me acrescentar desde já agradeço.

[Fraol]

Boa tarde,

Desculpe, mas o enunciado não ficou claro pra mim, então vou supor que AB é base do triângulo isósceles, ou seja AC e BC são os lados iguais. Também vou omitir alguns cálculos mais simples os quais você pode validar usando o que já sabe sobre distância entre pontos, ponto médio, etc.

Dessa forma vamos lá:

Se AB é base então essa base mede \(2 \sqrt{5}\) ( você usa a fórmula da distância para obter esse valor ou usa Pitágoras num triângulo retângulo de catetos 2 e 4) e o ponto médio da base é M=(1,2).

Como a área do triângulo pedido é 2 então:

\(A = \frac{1}{2} \cdot B \cdot h \Leftrightarrow 2 = \frac{1}{2} \cdot 2 \sqrt{5} \cdot h \Leftrightarrow h = \frac{2 \sqrt{5}}{5}\)

Que bom, temos a altura desse triângulo isósceles do problema. Então o ponto C pode estar acima ou abaixo da base, isto é temos duas possíveis soluções.

Agora basta você montar um sistema de equações a saber:

1) A distância de \(C=(x,y) a M=(1,2) = h = \frac{2 \sqrt{5}}{5}\)

2) A distância de [tex]C=(x,y) a A=(0,0) é igual à distância de C=(x,y) a B=(2,4)

Explicitando as duas fórmulas acima e resolvendo você encontrará as duas soluções C e C'.

Se ficar alguma dúvida, ou encontrar alguma inconsistência, por favor volte pra gente discutir.

Há outras formas de resolver essa questão. Essa acima é um pouco trabalhosa mas serve para exercitar o conceito de distância.

[ROSE]

OLÁ,
CONSEGUI CHEGAR NESSES RESULTADOS A QUAL VC ME ENCAMINHOU E NO FINAL OPTEI PELA SEGUNDA OPÇÃO Q É IGUALAR A distância de c=(x,y) a A=(0,0) a distância de c=(x,y), resolvi cortei os quadrados com a raíz, separei x e y para um lado e números para o outro. Ficou assim x² +y²+x+y=6 o que faço depois disso , separo só o que for x e depois só o que for y? é mais ou menos assim X²+x-6 e Y²+y-6, daí resolvo a raíz de cada um. É assim ou estou resolvendo errado? desde já agradeço, ajudou muito com a dica anterior.

[Fraol]

Oi ROSE,

Boa noite, eu vou seguir o roteiro que indiquei e daí você verifica onde o seu desenvolvimento ficou diferente ok? Bom vamos lá:

1) A distância de \(C=(x,y) a M=(1,2) = h = \frac{2 \sqrt{5}}{5}\)

Explicitando: \(\overline{CM} = \sqrt{(x-1)^2)+(y-2)^2} = h = \frac{2 \sqrt{5}}{5}\) então \((x-1)^2+(y-2)^2 = \frac{4}{5} \Leftrightarrow x^2+y^2-2x-4y+\frac{21}{5} = 0\)
Comentário: observe que esse resultado parcial é a equação de uma circunferência.

2) A distância de C=(x,y) a A=(0,0) é igual à distância de C=(x,y) a B=(2,4)

Explicitando: \(\overline{CA} = \sqrt{(x^2+y^2)} = \overline{CB} = \sqrt{(x-2)^2+(y-4)^2}\)então \(x^2+y^2=(x-2)^2+(y-4)^2 \Leftrightarrow y = \frac{5-x}{2}\)
Comentário: aqui eu fiz uma pequena mudança na execução do roteiro para poder simplificar alguns passos: o que fiz foi isolar o y no final do desenvolvimento da expressão. Outro comentário é que esse resultado parcial é a equação de uma reta: a mediatriz do segmento AB.

Agora para seguirmos devemos substituir o valor de y obtido em 2) na expressão final de 1):
\(x^2+y^2-2x-4y+\frac{21}{5} = 0\)

Segue que \({x^2}+((5-x)/2)^2 -{2x} -{4(5-x)/2} +\frac{21}{5} = {0} \Leftrightarrow 25x^2 -50x +9 = {0}\)

Essa quadrática possui raízes: \(x = \frac{1}{5} \text{ e } x = \frac{9}{5}\)

Com isso podemos encontrar os valores de y correspondentes, basta substituir no resultado 2): \({y} = \frac{12}{5} \text{ e } y = \frac{8}{5}\).

Assim os dois pontos que resolvem a questão dada são: \(C = \left(\frac{1}{5}, \frac{12}{5}\right) \text{ e } C' = \left( \frac{9}{5}, \frac{8}{5} \right)\)

Comentário: Esses dois pontos C e C' pertencem à intersecção da circunferência encontrada em 1) com a reta encontrada em 2).