ajuda, transformação linear de R³->R³

[thiagodaboit]

Podem me ajudar nessa questão, não estou conseguindo fazer.

Seja T: \(\Re^{3}\rightarrow \Re^{3}\) uma transformação linear dado por:

\(\begin{bmatrix}
x_1\\
x_2\\
x_3
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
x_2 + x_3\\
x_1+x_3\\
x_2+x_3
\end{bmatrix}\)

Seja a Base do \(\Re^{3}\):


\(\beta =\begin{Bmatrix}
\begin{bmatrix}
1\\
1\\
0
\end{bmatrix}.\begin{bmatrix}
1\\
0\\
1
\end{bmatrix}.\begin{bmatrix}
0\\
1\\
0
\end{bmatrix}
\end{Bmatrix}\)

Considere \(\beta\) como sendo a base domínio como também do contradomínio. Seja \(v\) um vetor do domínio dado por:

\(v=
1.\begin{bmatrix}1
1\\
1\\
0
\end{bmatrix}.2\begin{bmatrix}
1\\
0\\
1
\end{bmatrix}.1\begin{bmatrix}
0\\
1\\
0
\end{bmatrix}\)

Se pede:
a) A matriz de T com relação às bases \(\beta\) do domínio e base \(\beta\) do contra domínio.

b) As coordenadas de T(v) com relação à base\(\beta\) do contra domínio.

[josesousa]

A matriz que representa essa transformação na base canónica (domínio e contradomínio) é dada por

\(T = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 1\\ 1 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 1 \end{bmatrix}\)

A matriz mudança de base de \(\beta\) para a base canónica é

\(S = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}\)

Assim, a matriz que representa a transformação nas coordenadas \(\beta\) é dada por \(T_{\beta} = STS^{-1}\)

A resposta à alínea b) consiste em ver que o vector \(v\) na base \(\beta\) é dada por \((1,2,1)_{\beta}\)

Assim, a resposta é \(T_{\beta}.(1, 2,1)^T\)