Distância entre Ponto e Planos

[marcosyrht]

Calcular a distância entre os planos:
x + y = z + 3
3x - 3z = 2 - 3y

[flaviosouza37]

a equação de um plano é dada por ax+by+cz+d=0.

onde (a,b,c) são as coordenadas de um vetor ortogonal ao plano.

colocando as equações dadas na forma da equação do plano temos:

A: x+y-z+3=0
B: 3x+3y-3z-2=0

precisamos verificar se os planos são paralelos para calcular a distancia, caso os planos sejam paralelos então os vetores normais a esses planos tbm serão, vc pode checar se dois vetores são paralelos se conseguir obter um como um múltiplo do outro, no caso:

(1,1,-1)=3(1,1,-1) portanto A e B são paralelos.

Escolha um ponto em cada plano, No plano A: P=(0,0,3); no plano B: Q=(2/3,0,0)


\(dist(AB)=\frac{|PQ.N|}{\left \| N \right \|}\)

\(dist(AB)=\frac{|(\frac{2}{3},0,-3).(1,1,1)|}{\sqrt{1^2+1^2+1^2}}\)

\(dist(AB)=\frac{|(\frac{2}{3},0,-3).(1,1,1)|}{\sqrt{1^2+1^2+1^2}}=\frac{7}{3\sqrt{3}}\)

[marcosyrht]

a equação de um plano é dada por ax+by+cz+d=0.

onde (a,b,c) são as coordenadas de um vetor ortogonal ao plano.

colocando as equações dadas na forma da equação do plano temos:

A: x+y-z+3=0
B: 3x+3y-3z-2=0

precisamos verificar se os planos são paralelos para calcular a distancia, caso os planos sejam paralelos então os vetores normais a esses planos tbm serão, vc pode checar se dois vetores são paralelos se conseguir obter um como um múltiplo do outro, no caso:

(1,1,-1)=3(1,1,-1) portanto A e B são paralelos.

Escolha um ponto em cada plano, No plano A: P=(0,0,3); no plano B: Q=(2/3,0,0)


\(dist(AB)=\frac{|PQ.N|}{\left \| N \right \|}\)

\(dist(AB)=\frac{|(\frac{2}{3},0,-3).(1,1,1)|}{\sqrt{1^2+1^2+1^2}}\)

\(dist(AB)=\frac{|(\frac{2}{3},0,-3).(1,1,1)|}{\sqrt{1^2+1^2+1^2}}=\frac{7}{3\sqrt{3}}\)

[marcosyrht]

A fórmula não seria : d(P,π2) = | axo + byo + czo + k | / √(a²+b²+c²) , na sua resposta não tem o k. Seria a mesma coisa ou não?
Desde já agradeço pela resposta.

[flaviosouza37]

da pra usa essa formula tbm, o k é o "d" da equação do plano, nessa formula vc escolhe um ponto em um plano A por exemplo, colocada a equação do plano B na formula usando as coordenadas do ponto que pertence a A, assim tera a distancia do plano B ao ponto em A.