Parábola

[Claudin]

Dada a parábola \(y^2+6y-2x+9=0\), determine os valores de \(m\) para que a reta \(x+2y+m=0\)

a) Seja secante à parábola
b) Seja tangente à parábola
c) Não corte a parábola

[Claudin]

Ainda não compreendi o exercício

[josesousa]

Temos então a parábola \(y^2+6y+9=2x\Leftrightarrow x= \frac{1}{2}(y^2+6y+9) = \frac{1}{2}(y+3)^2\)

e a recta

\(x=-2y-m\)

Se derivarmos a equação da parábola em ordem a y ficamos com df/dy = y+3
e a recta tem declive constante igual a -2 (em ordem a y)

Para ser tangente, o declive tem de ser igual. Isto implica que

\(y+3 = -2 => y=-5\)
O que resulta em \(x = -2.(-5)-m = 10-m\)
mas x é também \(\frac{1}{2}({-5}+{3})^2 = {2}\)

Logo, \(10-m = 2\), implicando que \(m={8}\)

isto resolve a alínea b)

[josesousa]

Contudo, com a informação x=-2y-m

podemos substituir na equação da parábola, ficando com

\(y^2+6y+9-2(-2y-m)=0 \leftrightarrow y^2+10y+(9+2m)=0\)

Sendo uma equação quadrática, a solução é dada por

\(y=\frac{-10\pm\sqrt{10^2-4.(9+2m)}}{2}\)

Para ser secante, necessitamos 2 soluções.
Para ser tangente, só haverá uma solução.
Caso contrário, não toca no gráfico porque não há solução (real) para a equação.

Temos então de olhar para o que está dentro da raíz. Se for zero, há uma só solução. Se for maior que zero, há duas. Se for negativo, não existe solução.

\(10^2-4.(9+2m)=0 \Leftrightarrow 100-36-8m=0 \Leftrightarrow 64=8m =>m=8\)

Para ser maior que zero o que está dentro da raíz, m<8 (secante)
Quando m=8, há uma só solução (tangente)
Para m>8 não há solução real (não corta a parábola)

[Claudin]

Obrigado