Equação do plano que contenha retas

[Claudin]

Determine a equação do plano que contém as retas


\(\begin{cases} x=1-2t \\ y=4+3t \\ z=3+t \end{cases}\)
\(\begin{cases} x=2-s \\ y=3+2s \\ z=-2-4s \end{cases}\)

Teria de achar a interseção das retas para iniciar o exercício?

[josesousa]

Tem de achar os vecores directores das duas rectas. Serão 2.
A expansão linear desses vectores, mais um ponto de referência, geram o plano, i.e.:

\((x,y,z)=(x_0,y_0,z_0)+t.\bf{v}_1+s.\bf{v}_2\)

Basta calcular um vector \(\bf{v}_3\), perpendicular aos outros 2, e tem um vector normal ao plano. Com isso e um ponto do plano (qualquer ponto de uma das rectas) pode escrever a equação do plano

[Claudin]

Esse vetor \(v_3\), como é calculado? Se ele é perpendicular aos vetores diretores das retas acima que são \((-2,3,1)\) e \((-1,2,-4)\), basta então fazer \(v_3=(x,y,z)\). E fazer o produto escalar entre eles para provar a perpendicularidade, e ficaria:

\(v_3 . (-2,3,1)=0\)
\(-2x+3y+z=0\)

Porém a resposta não bateu com o gabarito. Alguém poderia ver onde está meu erro.
Obrigado