Mostrar que as retas são...
08 jul 2014, 18:40
Re: Mostrar que as retas são... [resolvida]
09 jul 2014, 02:17
Boa noite,
Vou delinear uma solução que me ocorre, daí você formaliza e conclui o exercício ok?
1) Calculando o produto vetorial dos vetores normais aos planos que definem \(r\), obteremos o vetor diretor de \(r\):
\((3,-1,-1) \times (8, -2, -3)=(1,1,2)\)
2) Calculando o produto vetorial dos vetores normais aos planos que definem \(s\), obteremos o vetor diretor de \(s\):
\((1, -3, 1) \times (3, -1, -1)=(4,4,8)\)
Observe que os vetores diretores das duas retas são paralelos, logo as retas dadas são paralelas e isso conclui a primeira parte.
3) Se \(P=(x,y,z)\) pertencer ao plano definido pelas duas retas então o produto escalar do vetor normal, \(N\), ao plano por um vetor \(\vec{P_0P}\)pertencente ao plano será nulo, isto é:
\(N \cdot \vec{P_0P} = 0\)
4) Ao intersectar os planos que definem \(r\), esta reta fica com a seguinte equação: \(r: 5x-y-2z=-1\).
5) Ao intersectar os planos que definem \(s\), esta reta fica com a seguinte equação: \(s: 2x-2y-2z=-2\).
6) Intersectando essas duas retas encontraremos o \(P_0\) citado em 3. Se não errei nas contas: \(P_0=\left(0, -\frac{1}{3}, \frac{2}{3}\right)\)
7) Agora, resta encontrar o vetor normal \(N\). Uma forma de encontrar esse vetor poder ser o seguinte:
7.1) Determinar um ponto \(P_1\) pertencente a \(r\), por exemplo: \(P_1 = (1, \frac{2}{3}, \frac{8}{3})\) e determinar o vetor \(\vec{P_0P_1} = (1,1,2)\)
7.2) Determinar um ponto \(P_2\) pertencente a \(s\), por exemplo: \(P_2 = (-2, 1, 0)\) e determinar o vetor \(\vec{P_0P_2} = (-2,\frac{4}{3},-\frac{2}{3})\)
7.3) Efetuar o produto vetorial entre esses dois vetores para encontrar \(N\).
8) Para completar o exercício é substituir os dados na equação do plano em 3).
Vou delinear uma solução que me ocorre, daí você formaliza e conclui o exercício ok?
1) Calculando o produto vetorial dos vetores normais aos planos que definem \(r\), obteremos o vetor diretor de \(r\):
\((3,-1,-1) \times (8, -2, -3)=(1,1,2)\)
2) Calculando o produto vetorial dos vetores normais aos planos que definem \(s\), obteremos o vetor diretor de \(s\):
\((1, -3, 1) \times (3, -1, -1)=(4,4,8)\)
Observe que os vetores diretores das duas retas são paralelos, logo as retas dadas são paralelas e isso conclui a primeira parte.
3) Se \(P=(x,y,z)\) pertencer ao plano definido pelas duas retas então o produto escalar do vetor normal, \(N\), ao plano por um vetor \(\vec{P_0P}\)pertencente ao plano será nulo, isto é:
\(N \cdot \vec{P_0P} = 0\)
4) Ao intersectar os planos que definem \(r\), esta reta fica com a seguinte equação: \(r: 5x-y-2z=-1\).
5) Ao intersectar os planos que definem \(s\), esta reta fica com a seguinte equação: \(s: 2x-2y-2z=-2\).
6) Intersectando essas duas retas encontraremos o \(P_0\) citado em 3. Se não errei nas contas: \(P_0=\left(0, -\frac{1}{3}, \frac{2}{3}\right)\)
7) Agora, resta encontrar o vetor normal \(N\). Uma forma de encontrar esse vetor poder ser o seguinte:
7.1) Determinar um ponto \(P_1\) pertencente a \(r\), por exemplo: \(P_1 = (1, \frac{2}{3}, \frac{8}{3})\) e determinar o vetor \(\vec{P_0P_1} = (1,1,2)\)
7.2) Determinar um ponto \(P_2\) pertencente a \(s\), por exemplo: \(P_2 = (-2, 1, 0)\) e determinar o vetor \(\vec{P_0P_2} = (-2,\frac{4}{3},-\frac{2}{3})\)
7.3) Efetuar o produto vetorial entre esses dois vetores para encontrar \(N\).
8) Para completar o exercício é substituir os dados na equação do plano em 3).