Cálculo Vectorial. Área de triangulo

[amadeu]

O módulo do produto vectorial dos vectores \(\,\vec{a}\;\)e\(\;\vec{b}\), que formam um ângulo obtuso é \(\sqrt{41}\;\)e \(\;\|\vec{a}|=7\;\)e\(\;|\vec{b}|=3\). O vector \(\;\vec{MP}\;\)tem a direcção da bissetríz do ângulo de \(\;\vec{a}\;\)e\(\;\vec{b}\;\)e \(\;|\vec{MP}|=2\sqrt{42}\;\). Se o vector \(\vec{MQ}\,=\,\vec{a}\,-\,\vec{b}\;\) calcule a área do triângulo \(MPQ\).

Sei que a Resposta é: \(A=10\sqrt{41}\)

Porém nem sei por onde começar.
Imensamente grato a quem der uma ajuda.

Amadeu

[Rui Carpentier]

Caro Amadeu, espero que consiga seguir os passos. Notação: \(\vec{a}\times\vec{b}\) significa produto vectorial e \(\vec{a}\cdot\vec{b}\) significa produto interno.

A área do triângulo \(MPQ\) pode ser calculada pela expressão \(\mbox{area}(MPQ)=\frac{1}{2}||\vec{MP}\times \vec{MQ}||\). Sabemos que \(\vec{MQ}=\vec{a}-\vec{b}\) e que \(\vec{MP}\) tem a direcção da bissetríz do ângulo de \(\vec{a}\) e \(\vec{b}\), logo \(\vec{MP}=\frac{||\vec{MP}||\left(\frac{\vec{a}}{||\vec{a}||}+\frac{\vec{b}}{||\vec{b}||}\right)}{\left\|\frac{\vec{a}}{||\vec{a}||}+\frac{\vec{b}}{||\vec{b}||}\right\|}\). Seja \(\lambda =\frac{||\vec{MP}||}{\left\|\frac{\vec{a}}{||\vec{a}||}+\frac{\vec{b}}{||\vec{b}||}\right\|}\), então \(\mbox{area}(MPQ)=\frac{\lambda}{2}\left\|(\vec{a}-\vec{b})\times \left(\frac{\vec{a}}{||\vec{a}||}+\frac{\vec{b}}{||\vec{b}||}\right)\right\|=\frac{\lambda}{2}\left\|\frac{\vec{a}\times\vec{b}}{||\vec{b}||}-\frac{\vec{b}\times\vec{a}}{||\vec{a}||}\right\|=\frac{\lambda}{2}\left|\frac{1}{||\vec{b}||}+\frac{1}{||\vec{a}||}\right| ||\vec{a}\times\vec{b}||\). São nos dados que \(||\vec{a}\times\vec{b}||=\sqrt{41}\), \(||\vec{a}||=7\) e \(||\vec{b}||=3\), logo \(\mbox{area}(MPQ)=\frac{\lambda 10\sqrt{41}}{42}\). Falta só determinar o valor de \(\lambda =\frac{||\vec{MP}||}{\left\|\frac{\vec{a}}{||\vec{a}||}+\frac{\vec{b}}{||\vec{b}||}\right\|}\). É nos dado que \(||\vec{MP}||=2\sqrt{42}\) e sabemos que \(\left\|\frac{\vec{a}}{||\vec{a}||}+\frac{\vec{b}}{||\vec{b}||}\right\|=\sqrt{\left(\frac{\vec{a}}{||\vec{a}||}+\frac{\vec{b}}{||\vec{b}||}\right)\cdot\left(\frac{\vec{a}}{||\vec{a}||}+\frac{\vec{b}}{||\vec{b}||}\right)}=\sqrt{2+\frac{2\vec{a}\cdot\vec{b}}{||\vec{a}|| ||\vec{b}||}}=\sqrt{2+\frac{2\vec{a}\cdot\vec{b}}{21}}\). Temos agora que determinar \(\vec{a}\cdot\vec{b}=||\vec{a}|| ||\vec{b}||\cos(\theta)\) (onde \(\theta\) é o ângulo entre \(\vec{a}\) e \(\vec{b}\)). É sabido que \(||\vec{a}\times\vec{b}||=||\vec{a}|| ||\vec{b}||\sin(\theta)\), logo \(\sin(\theta)=\frac{\sqrt{41}}{21}\) e portanto \(\cos(\theta)=-\frac{20}{21}\) (note-se que nos é dito que o ângulo é obtuso).
Fazendo os cálculos chegamos a \(\lambda=42\) e portanto \(\mbox{area}(MPQ)=10\sqrt{41}\).

[amadeu]

Caro Rui Carpentier, a minha ignorância na matéria entrou em choque com a sua sapiência. Por isso, gostaria, se possível, havendo disponibilidade da sua parte, que me esclarecesse algumas dúvidas sobre o problema, as quais seguem enunciadas abaixo.

1) \(\mbox{area}(MPQ)=\frac{1}{2}|\vec{MP}\times \vec{MQ}|\)

Pela expressão acima conclui-se que a área do triângulo\(\;(MPQ)=\frac{b\times h}{2}\;\) em que\(\;\vec{MP}=b\;\) e \(\;\vec{MQ}=h\)

\(\vec{MP}=\frac{|\vec{MP}|\left(\frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}+\frac{\vec{b}}{|\vec{b}|}\right)}{\left|\frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}+\frac{\vec{b}}{|\vec{b}|}\right|}\).

2) Seja\(\;\lambda =\frac{|\vec{MP}|}{\left|\frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}+\frac{\vec{b}}{|\vec{b}|}\right|}\;\) Nesta linha do seu texto gostaria que me explicasse o que aconteceu à expressão\(\;\left(\frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}+\frac{\vec{b}}{|\vec{b}|}\right)\;\) que está no numerador a multiplicar por\(\;|\vec{MP}|\)


3) \(\mbox{area}(MPQ)=\frac{\lambda}{2}\left|(\vec{a}-\vec{b})\times \left(\frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}+\frac{\vec{b}}{|\vec{b}|}\right)\right|=\frac{\lambda}{2}\left|\frac{\vec{a}\times\vec{b}}{|\vec{b}|}-\frac{\vec{b}\times\vec{a}}{|\vec{a}|}\right|=\frac{\lambda}{2}\left|\frac{1}{|\vec{b}|}+\frac{1}{|\vec{a}|}\right||\vec{a}\times\vec{b}|\). Aqui gostaria que me explicasse como desta 1ª expressão \(\;\frac{\lambda}{2}\left|(\vec{a}-\vec{b})\times \left(\frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}+\frac{\vec{b}}{|\vec{b}|}\right)\right|\;\)passou para esta 2ª\(\;=\frac{\lambda}{2}\left|\frac{\vec{a}\times\vec{b}}{|\vec{b}|}-\frac{\vec{b}\times\vec{a}}{|\vec{a}|}\right|\;\) Como fez essa multplicação de \(\;(\vec{a}-\vec{b})\times\left(\frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}+\frac{\vec{b}}{|\vec{b}|}\right)\;\) para chegar à 2ª citada anteriormente.



4) São nos dados que \(|\vec{a}\times\vec{b}|=\sqrt{41}\), \(|\vec{a}|=7\) e \(|\vec{b}|=3\), logo \(\mbox{area}(MPQ)=\frac{\lambda 10\sqrt{41}}{42}\;\). Aqui como encontrou o valor \(\;42\;\) que surge no denominador ?



5) e sabemos que \(\left|\frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}+\frac{\vec{b}}{|\vec{b}|}\right|=\sqrt{\left(\frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}+\frac{\vec{b}}{|\vec{b}|}\right)\cdot\left(\frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}+\frac{\vec{b}}{|\vec{b}|}\right)}=\sqrt{2+\frac{2\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}}=\sqrt{2+\frac{2\vec{a}\cdot\vec{b}}{21}}\;\).Aqui, no 3º passo como fez para encontrar \(\sqrt{2+\frac{2\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}}\;\) considerando o radicando anterior ?

\(\sqrt{2+\frac{2\vec{a}\cdot\vec{b}}{21}}\;\) Aqui o valor \(\,21\,\) creio que surgiu do produto das normas de \(\,|\vec{a}|.|\vec{b}|=|7|.|3|=21\)

6) A propósito de normas ? A expressão a seguir enunciada \(\,|\vec{a}|\,\) é a norma de um vector ? Isto é, o seu comprimento em unidades relativamente ao vector unitário ?
Ou é o módulo ou valor absoluto de um vector ? Pergunto isto porque tanto quanto sei a norma de um vector costuma ser representada por \(||\vec{a}||\). Ou aquela expressão é efectivamente a norma e colocam apenas uma barra de cada lado por comodidade de escrita ?

logo \(\sin(\theta)=\frac{\sqrt{41}}{21}\) e portanto \(\cos(\theta)=-\frac{20}{21}\) (note-se que nos é dito que o ângulo é obtuso).
Aqui usou a fórmula fundamental de trigonometria, para a partir do \(\,sin\theta\,\) chegar a \(\,cos\theta\).

7) Fazendo os cálculos chegamos a \(\lambda=42\) e portanto \(\mbox{area}(MPQ)=10\sqrt{41}\).
Pergunto: como se fazem os cálculos para achar lambda ? Em que dado ponto específico existente no desenvolvimento de todo o problema se encontra a fórmula concreta para achar lambda ?

E como \(\,\lambda=42\,\) e a \(\,Area_{\triangle}{MPQ}\mbox{(como referiu acima)}=\frac{\lambda10\sqrt{41}}{42}\)

E temos então: \(\frac{42.10\sqrt{41}}{42}\,\rightarrow\,\frac{\cancel {42}.10\sqrt{41}}{\cancel {42}}\,\rightarrow\,Area_{\triangle}{MPQ}=10\sqrt{41}\)

8) Por último, uma pergunta final:
Não existe uma forma mais fácil, mais directa, mais objectiva, de resolver este problema ?

Grato
Amadeu

[Rui Carpentier]

... Por isso, gostaria, se possível, havendo disponibilidade da sua parte, que me esclarecesse algumas dúvidas sobre o problema, as quais seguem enunciadas abaixo.

1) \(\mbox{area}(MPQ)=\frac{1}{2}|\vec{MP}\times \vec{MQ}|\)

Pela expressão acima conclui-se que a área do triângulo\(\;(MPQ)=\frac{b\times h}{2}\;\) em que\(\;\vec{MP}=b\;\) e \(\;\vec{MQ}=h\)

Correcto, mas é melhor não usar a letra b para identificar \(\vec{MP}\) porque já existe o vetor \(\vec{b}\).

2) Seja\(\;\lambda =\frac{|\vec{MP}|}{\left|\frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}+\frac{\vec{b}}{|\vec{b}|}\right|}\;\) Nesta linha do seu texto gostaria que me explicasse o que aconteceu à expressão\(\;\left(\frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}+\frac{\vec{b}}{|\vec{b}|}\right)\;\) que está no numerador a multiplicar por\(\;|\vec{MP}|\)

Deixei de fora. Repare que temos \(\mbox{area}(MPQ)=\frac{1}{2}|\left(\frac{|\vec{MP}|\left(\frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}+\frac{\vec{b}}{|\vec{b}|}\right)}{\left|\frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}+\frac{\vec{b}}{|\vec{b}|}\right|}\right)\times \vec{MQ}|=\frac{\frac{|\vec{MP}|}{\left|\frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}+\frac{\vec{b}}{|\vec{b}|}\right|}}{2}\left|(\vec{a}-\vec{b})\times \left(\frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}+\frac{\vec{b}}{|\vec{b}|}\right)\right|=\frac{\lambda}{2}\left|(\vec{a}-\vec{b})\times \left(\frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}+\frac{\vec{b}}{|\vec{b}|}\right)\right|\)

3) \(\mbox{area}(MPQ)=\frac{\lambda}{2}\left|(\vec{a}-\vec{b})\times \left(\frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}+\frac{\vec{b}}{|\vec{b}|}\right)\right|=\frac{\lambda}{2}\left|\frac{\vec{a}\times\vec{b}}{|\vec{b}|}-\frac{\vec{b}\times\vec{a}}{|\vec{a}|}\right|=\frac{\lambda}{2}\left|\frac{1}{|\vec{b}|}+\frac{1}{|\vec{a}|}\right||\vec{a}\times\vec{b}|\). Aqui gostaria que me explicasse como desta 1ª expressão \(\;\frac{\lambda}{2}\left|(\vec{a}-\vec{b})\times \left(\frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}+\frac{\vec{b}}{|\vec{b}|}\right)\right|\;\)passou para esta 2ª\(\;=\frac{\lambda}{2}\left|\frac{\vec{a}\times\vec{b}}{|\vec{b}|}-\frac{\vec{b}\times\vec{a}}{|\vec{a}|}\right|\;\) Como fez essa multplicação de \(\;(\vec{a}-\vec{b})\times\left(\frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}+\frac{\vec{b}}{|\vec{b}|}\right)\;\) para chegar à 2ª citada anteriormente.

Usando as propriedades do produto vetorial que é uma operação bilinear (i.e. \((\alpha\vec{v}_1+\beta\vec{v}_2)\times (\gamma\vec{w}_1+\delta\vec{w}_2)=\alpha\gamma\vec{v}_1\times \vec{w}_1+\alpha\delta\vec{v}_1\times \vec{w}_2+\beta\gamma\vec{v}_2\times \vec{w}_1+\beta\delta\vec{v}_2\times \vec{w}_2\)) e anti-simétrica (i.e. \(\vec{v}\times \vec{w}=-\vec{w}\times \vec{v}\) o que implica que \(\vec{v}\times \vec{v}=\vec{0}\)). Sendo assim,
\((\vec{a}-\vec{b})\times\left(\frac{\vec{a}}{||\vec{a}||}+\frac{\vec{b}}{||\vec{b}||}\right)=\frac{1}{||\vec{a}||}\vec{a}\times \vec{a}+\frac{1}{||\vec{b}||}\vec{a}\times \vec{b}-\frac{1}{||\vec{a}||}\vec{b}\times \vec{a}-\frac{1}{||\vec{b}||}\vec{b}\times \vec{b}=\vec{0}+\frac{1}{||\vec{b}||}\vec{a}\times \vec{b}+\frac{1}{||\vec{a}||}\vec{a}\times \vec{b}+\vec{0}=\left(\frac{1}{||\vec{b}||}+\frac{1}{||\vec{a}||}\right)\vec{a}\times \vec{b}\)

4) São nos dados que \(|\vec{a}\times\vec{b}|=\sqrt{41}\), \(|\vec{a}|=7\) e \(|\vec{b}|=3\), logo \(\mbox{area}(MPQ)=\frac{\lambda 10\sqrt{41}}{42}\;\). Aqui como encontrou o valor \(\;42\;\) que surge no denominador ?

\(\mbox{area}(MPQ)=\frac{\lambda}{2}\left|\frac{1}{||\vec{b}||}+\frac{1}{||\vec{a}||}\right||\vec{a}\times\vec{b}|=\frac{\lambda}{2}\left|\frac{1}{3}+\frac{1}{7}\right|\sqrt{41}=\frac{\lambda}{2}\frac{10}{21}\sqrt{41}=\frac{\lambda 10\sqrt{41}}{42}\)

5) e sabemos que \(\left|\frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}+\frac{\vec{b}}{|\vec{b}|}\right|=\sqrt{\left(\frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}+\frac{\vec{b}}{|\vec{b}|}\right)\cdot\left(\frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}+\frac{\vec{b}}{|\vec{b}|}\right)}=\sqrt{2+\frac{2\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}}=\sqrt{2+\frac{2\vec{a}\cdot\vec{b}}{21}}\;\).Aqui, no 3º passo como fez para encontrar \(\sqrt{2+\frac{2\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}}\;\) considerando o radicando anterior ?

Usando a bilinearidade do produto interno mais a simetria:
\({\left(\frac{\vec{a}}{||\vec{a}||}+\frac{\vec{b}}{||\vec{b}||}\right)\cdot\left(\frac{\vec{a}}{||\vec{a}||}+\frac{\vec{b}}{||\vec{b}|||}\right)=\frac{\vec{a}\cdot\vec{a}}{||\vec{a}||^2}+\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{||\vec{a}||||\vec{b}||}+\frac{\vec{b}\cdot\vec{a}}{||\vec{b}||||\vec{a}||}+\frac{\vec{b}\cdot\vec{b}}{||\vec{b}||^2}=1+2\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{||\vec{a}||||\vec{b}||}+1=2+\frac{2\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}}\)

\(\sqrt{2+\frac{2\vec{a}\cdot\vec{b}}{21}}\;\) Aqui o valor \(\,21\,\) creio que surgiu do produto das normas de \(\,|\vec{a}|.|\vec{b}|=|7|.|3|=21\)

Correcto.

6) A propósito de normas ? A expressão a seguir enunciada \(\,|\vec{a}|\,\) é a norma de um vector ? Isto é, o seu comprimento em unidades relativamente ao vector unitário ?
Ou é o módulo ou valor absoluto de um vector ? Pergunto isto porque tanto quanto sei a norma de um vector costuma ser representada por \(||\vec{a}||\). Ou aquela expressão é efectivamente a norma e colocam apenas uma barra de cada lado por comodidade de escrita ?

Sim é a norma. Usei apenas uma barra por comodidade e porque o enunciado também só usava uma barra. Vou editar para não haver mais confusões.

logo \(\sin(\theta)=\frac{\sqrt{41}}{21}\) e portanto \(\cos(\theta)=-\frac{20}{21}\) (note-se que nos é dito que o ângulo é obtuso).
Aqui usou a fórmula fundamental de trigonometria, para a partir do \(\,sin\theta\,\) chegar a \(\,cos\theta\).

Sim.

7) Fazendo os cálculos chegamos a \(\lambda=42\) e portanto \(\mbox{area}(MPQ)=10\sqrt{41}\).
Pergunto: como se fazem os cálculos para achar lambda ? Em que dado ponto específico existente no desenvolvimento de todo o problema se encontra a fórmula concreta para achar lambda ?

Quase no início, \(\lambda =\frac{||\vec{MP}||}{\left\|\frac{\vec{a}}{||\vec{a}||}+\frac{\vec{b}}{||\vec{b}||}\right|}=\frac{2\sqrt{42}}{\sqrt{2+\frac{2\vec{a}\cdot\vec{b}}{21}}}\), como \(\vec{a}\cdot\vec{b}=||\vec{a}||||\vec{b}||\cos\theta =-20\), temos \(\lambda =\frac{2\sqrt{42}}{\sqrt{2-\frac{40}{21}}}=\frac{2\sqrt{42}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{21}}}=2\sqrt{21^2}=42\)

E como \(\,\lambda=42\,\) e a \(\,Area_{\triangle}{MPQ}\mbox{(como referiu acima)}=\frac{\lambda10\sqrt{41}}{42}\)

E temos então: \(\frac{42.10\sqrt{41}}{42}\,\rightarrow\,\frac{\cancel {42}.10\sqrt{41}}{\cancel {42}}\,\rightarrow\,Area_{\triangle}{MPQ}=10\sqrt{41}\)

Sim.

8) Por último, uma pergunta final:
Não existe uma forma mais fácil, mais directa, mais objectiva, de resolver este problema ?

Sinceramente não sei.

Grato
Amadeu

Não tem de quê.

[amadeu]

Caro Rui Carpentier.
Peço desculpa por voltar a incomoda-lo novamente com o mesmo assunto. Mas será que com base muma séria de dados que o problema nos fornece, tais como: os vectores \(\,\vec{a}=7\,,\,\vec{b}=3\;\) o \(\,\cos(\theta)\;\)entre eles ser de\(\;-\frac{20}{21}\;\), sabendo-se que o \(\;|\vec {MP}|\;=2\sqrt{42}=12,96\;\) e assenta na bissetríz do \(\angle \theta\;\) formado pelos vectores \(\;\vec{a}\;\)e \(\;\vec{b}\;\)e sabendo-se também que \(\;|\vec{MQ}|=\vec{a}-\vec{b}=7+(-3)=7-3=4\;\)pelo menos assim o creio. Com todos estes dados ,será que é possível construir-se um desenho evidênciando o dito triângulo do qual se pede a área?
É que eu já tentei mas não consegui.
Se não estou em erro, creio que \(cos^{-1}\,(-\frac{20}{21})\,=\,162^o\;14^,\; 49,96^{,,}\)

Grato
Amadeu

[Rui Carpentier]

Caro Amadeu,

Desculpe o atraso na resposta, a minha disponibilidade de tempo não tem sido grande nos últimos dias. Não sou grande coisa com imagens mas aqui vai o melhor que consegui...

Como o forum não me deixa enviar pdf , sugiro-lhe que corra num programa de latex o seguinte texto:

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\documentclass[12pt]{article}
\input xy
\begin{document}

\xy (0,0)*{M} ; (-40,13)*+{a} **\dir{-} ,
(0,0)*{} ; (18,0)*+{b} **\dir{-} ,
(0,0)*{} ; (-58,13)*+{Q} **\dir{.},
(0,0)*{} ; (12,77)*+{P} **\dir{.},
(-58,13)*{} ; (12,77)*+{} **\dir{.}
\endxy

\end{document}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Espero que o ajude.

[João P. Ferreira]

Caro Amadeu

considerando que tem tido a especial ajuda do Prof. Rui Carpentier, que o auxilia filantropa e voluntariamente em nome de toda a comunidade, e considerando ainda que o caro Amadeu aparenta possuir alguns sólidos conhecimentos de matemática, chegou a altura de também o caro amigo, retribuir à comunidade
search.php?search_id=unanswered

A comunidade agradece

obrigados